*)      .

 

Inoltre risulta: **)  a +b -1=0  in quanto il punto R appartiene alla retta r. In definitiva eliminando i parametri a ,b    dalle relazioni (*) e (**) si vede che il luogo geometrico richiesto ha equazione:    3x + 4y - 4 = 0.

           

N.10.- Dati i punti R(1,0) e R’(-1,0) sia Q un punto dell’asse y e P il punto d’intersezione della retta R’Q  con la perpendicolare per R alla retta QR.
Determinare il luogo L descritto dal punto P al variare di Q sull’asse y.

 

Dato che il punto P appartiene alla retta R’Q  introduciamo come parametro il coefficiente angolare di tale retta, che pertanto ha equazione: *)  y = mx+m.  Di conseguenza il punto Q ha coordinate (0, m), la retta QR ha equazione y = - mx + m e la retta RP, perpendicolare a QR, ha equazione:

 

**)            .

 

Eliminando il parametro m tra le (*) e (**) si ha l’equazione del luogo L:   x² - y² = 1.
Per m = 0  il punto Q coincide con l'origine O e si ottengono come punti del luogo R ed R'.

 

N.11.- Date le coniche: C₁ ) x² + y² - 2x = 0, C₂ ) y² + 2x -1= 0  e la retta r) x - y = 0, siano: P il generico punto di r,  t ed s le polari di P rispetto a C₁ e C₂.
Determinare il luogo geometrico dei punti del piano formato dai punti d’intersezione delle rette t ed s.

 

Le coordinate del punto variabile P sulla retta r sono (a,a). Le polari t ed s del punto P rispetto alle coniche sono rispettivamente le rette:   *)   (a -1)x + ay - a = 0,    x + 2y + a - 1= 0.  
Eliminando il parametro a dalle relazioni  (*) si ha l’equazione del luogo:

 

   x² + 2y² + 3xy - x - 3y + 1 = 0.        

         

N.12.- Data la conica  C) x² + 2y²  + 3xy - x - 3y + 1 = 0, sia r) y = k la generica retta secante la conica C.  Determinare il luogo dei punti medi del segmento d’intersezione di r con C.

  

Il punto medio M dei punti d’intersezione della conica C con la retta r ha coordinate  . Pertanto, posto  si vede che il luogo richiesto è la retta  d’equazione 2x - y + 1= 0.

 

N.13.- Dato il fascio di coniche  C ) x² + my²  - xy + 2mx = 0    (mÎR)  e la retta r) y + 1= 0, determinare il luogo L descritto dal punto P, polo  di  r rispetto a C, al variare del fascio di coniche.

La polare del generico punto P(a,b) ha equazione:   *)  , da cui, sapendo che la polare di P rispetto al fascio di coniche è la retta r d’equazione y+1= 0 si deducono le seguenti relazioni:  *)   .

                                                 

Ricavando il parametro m dalle prime due di (*)  e uguagliando i relativi secondi  membri  si  ottiene l’equazione 

 

                                     ,  

 

da cui, dopo semplici calcoli, si vede che il luogo richiesto ha equazione:    

  2x² + y² - 3xy -  x = 0,

 

 avendo posto x = a   e   y = b .