8. Luoghi geometrici.
8.1.- Generalità.
Si
dice luogo geometrico l’insieme di tutti e soli i punti
del piano che godono di una data proprietà
Ã.
In un riferimento
cartesiano Oxy è possibile rappresentare un luogo
geometrico L mediante un’equazione del tipo:
8.1.1) f(x,y)
= 0
ove (x,y) sono le
coordinate del generico punto del luogo. La (8.1.1) si
dice rappresentazione cartesiana o equazione del luogo
geometrico L.
Si dice invece
rappresentazione parametrica esplicita del luogo L la
seguente:
8.1.2)
ove x=x(t), y = y(t)
dipendono dal parametro reale t.
Per ottenere la
rappresentazione cartesiana del luogo L, nota che sia la
rappresentazione parametrica, basta eliminare tra le
equazioni (8.1.2) il parametro t.
Il più
semplice luogo
geometrico è la retta, e come è noto, è
rappresentato da un’equazione di 1° grado in due
incognite del tipo ax + by + c = 0.
Ulteriori luoghi
geometrici sono la parabola, l’ellisse etc., le cui
equazioni sono note.
Per determinare
l’equazione di un luogo geometrico, nota che sia la
proprietà
Ã
di cui godono i suoi punti, si può procedere in uno dei
seguenti modi:
1° MODO
Si trasforma, mediante
le nozioni di geometria analitica la proprietà
Ã
in un’equazione nelle incognite x e y.
2° MODO
Si ricerca l’equazione
del luogo in funzione parametrica di uno o più
parametri, e successivamente si ricava l’equazione
cartesiana eliminando i parametri introdotti.
8.2.- Esercizi svolti.
N.1.-
Determinare la rappresentazione cartesiana della curva C
d’equazione parametrica assegnata
a)
C: x = 2t, y = t+1 ; b) C: x = 2t2
-3, y= t4 +1 ; c)
C: x = 3t4 -t2
, y= t2 +1;
d)
C:
;
e) x = t, y = 4/t, f) C: x =
Rcosa,
y = Rsena
,
g)
C:
x = a×
cosa,
y = b×sena
,