Esempio 7.- Determinare gli asintoti della curva.

Il dominio della funzione è R-{3}.

Si ha:

,    

 

e quindi x = 3 è un asintoto verticale. La curva non ammette asintoti orizzontali poiché , ma può ammettere eventuali asintoti obliqui.

Verifichiamo, pertanto, se ammette un asintoto d’equazione y = mx + n.

Si ha:

 m =,           n =

 

e quindi la retta y = 3x + 9 è un asintoto obliquo.

Verifichiamo, inoltre, se tale retta asintotica interseca la curva[1] in qualche punto risolvendo il sistema:

 

  assurdo.

 

Pertanto l’asintoto, in questo caso, non interseca la curva.

 

Osservazione

Può essere utile, avvolte, stabilire per x tendente a più infinito (o meno infinito)  la posizione della curva y = f(x) rispetto all’asintoto obliquo d’equazione y = mx + n *.

Per analizzare ciò bisogna risolvere la disequazione:

 

 

in un intorno di più infinito (meno infinito).

In riferimento all’esempio 7, risolviamo allora la disequazione:

 

 

da cui, osservato che per  la quantità  è sempre positiva, si deduce che la curva è situata al di sopra dell’asintoto; mentre per  la quantità  è sempre negativa (infatti il denominatore è negativo e il numeratore positivo) e la curva è situata al di sotto dell’asintoto.