Funzioni periodiche
a)Una funzione reale
di variabile reale
,
definita nell’insieme D
Í
R, si dice
periodica di periodo
w
Î
R se:
"
xÎ
D, x
+ wÎ
D
Esempio 1.-
La funzione
=
sen x è periodica di periodo
w
= 2p.
Infatti,
"x
ÎR
si ha:
=
sen (x + 2p)+
= sen x =
Esempio 2.-
La funzione
=
tg x è periodica di periodo
w
=
p.
Ogni funzione numerica
definita in R è periodica di periodo
w = 0,
ma esistono funzioni di
periodo positivo. Inoltre se una funzione è periodica di
periodo w>0
allora è anche periodica di periodo k×w
per ogni k ÎZ.
f(x) = f(x+ kw
) "
k Î Z
Si chiama intervallo di periodicità di una funzione y =
f(x) di periodo non nullo ogni intervallo, di
definizione per la funzione, chiuso di
ampiezza
|w|.
Ricordiamo che per
studiare le proprietà di una funzione, definita in
D
Í
R,
di periodo non nullo basta
limitarsi a studiarle in qualsiasi intervallo di
periodicità. In genere si usa studiare la funzione
nell'insieme
D
Ç [0 , |w|]
In
particolare ricordiamo che:
-
il codominio di
una funzione periodica coincide con quello dello sua
restrizione a qualsiasi intervallo di periodicità;
-
il
grafico di una
funzione periodica si può determinare in relazione a
qualsiasi intervallo di periodicità. Infatti,
ricavato il grafico in un intervallo di periodicità
si può ottenere quello della funzione f(x) con
successive (infinite) traslazioni parallele all'asse x nel
verso positivo e negativo in modo che ogni punto
descriva ogni volta segmenti paralleli all'asse x di
misura
|w|.
Osservazione 1
Le
funzioni circolari elementari sono funzioni
periodiche:
|
y = sen x |
periodo 2p |
|
y = cos x |
periodo 2p |
|
y = tg x |
periodo
p |
|
y = cotg x |
periodo
p |
|
y = sec x |
periodo
2p |
|
y = cosec x |
periodo
2p |
a)
Ricordiamo che
se
e
sono
funzioni circolari elementari di
periodo
w
allora anche la funzione
±
ha
periodo
w,
mentre la funzione
ha
periodo
w/2.
Se invece i periodi di
e
sono
distinti, il periodo delle funzioni
±
,
e
è
il minimo comune multiplo dei singoli
periodi.
b)
Se
è
una funzione circolare elementare di
periodo
w
allora la funzione:
|
f(x) è seno, coseno,
cosecante, secante |
|
|
f(kx) , |
ha periodo
w/k |
|
|
f(x)
| |
ha periodo
w/2 |
|
[f(x)]n , n pari |
ha periodo
w/2 |
|
[f(x)]n , n dispari |
ha periodo
w |
|
 |
ha periodo
w |
|
f(x) è tangente,
cotangente |
|
|
f(kx) |
ha periodo
w/k |
|
|
f(x)
| |
ha periodo
w |
|
[f(x)]n , n pari |
ha periodo
w |
|
[f(x)]n , n dispari |
ha periodo
w |
|
|
ha periodo
w |
Esempio 3.-
La funzione
=
sen x + cos x è periodica di periodo
w
= 2p.
Infatti,
"x
ÎR
si ha:
=
sen (x + 2p)
+ cos (x + 2p)
= sen x + cos x =
Esempio 4.-
La funzione
=
tg x = senx/cosx è periodica di periodo
2p/2
=
p.
Esempio 5.-
La funzione
=
sen (3x) ha periodo 2w/3
=
2p/3.
Esempio 6.-
La funzione
=
cotg (10x) è periodica di periodo
w/10
=
p/10.
Esempio 7.-
La funzione
=
sen(4x) + sen(3x) è periodica di periodo
w
=
2p.
Infatti, osservato che la funzione sen (4x) ha periodo
w1
= 2p/4
= p/2
e che la funzione sen (3x) ha periodo
w2
=
(2p)/3,
si deduce che il periodo
w
della funzione data è il minimo comune multiplo dei
periodi:
w
=
12p/6 = 2p
il che si ricava riducendo i singoli periodi allo stesso
denominatore, calcolando poi il minimo comune multiplo
dei numeratori e considerando infine il rapporto tra il
m.c.m. calcolato e il denominatore comune.
Esempio 8.-
Calcolare il periodo della funzione
= cos(5x)
+ tg(7x) .
La funzione cos (5x)
ha periodo
w1
=2p/5,
e la funzione
tg(7x) ha periodo
w2
= p/7.
Riduciamo allo stesso denominatore i due periodi e si
ha:
w1
=14p/35,
w2
= 5p/35.
Osservato che il m.c.m.(14,
5) = 70 si vede che il periodo della funzione data è
w =
70p/35 = 2p
Esempio 9.-
Calcolare il periodo della funzione
= |
cos(6x)|
- [tg(9x)]10
.
La funzione
cos(6x)
ha periodo
2p/6
e quindi la funzione
|cos(6x)|
ha periodo
w1
= (2p/6)/2
= p/6,
la
funzione tg(9x)
ha periodo
p/9
e quindi la funzione [tg(9x)]10
a periodo
w2
= p/9.
Riduciamo allo stesso denominatore i due periodi e si
ha:
w1
=3p/18,
w2
= 2p/18.
Osservato che il m.c.m.(3,
2) = 6 si vede che il periodo della funzione data è
w =
6p/18 = p/3
Esempio 10.-
La funzione
=
(1 - cosx )
+ cosx
non è periodica perchè coincide con la funzione costante
f(x) = 1.
Una funzione costante non viene considerata periodica
per il fatto che non si riesce a stabilire il periodo.
Questo esempio ci permette di riportare la seguente
definizione di funzione periodica:
Una funzione y = f(x), reale di variabile reale, si dice
periodica di periodo
w
se l'insieme T di tutti
i suoi periodi positivi ammette minimo uguale ad
w.
Se il minimo dell'insieme T non esiste la funzione
non si dice periodica.
Nota. Maggiori informazioni sulle funzioni
periodiche:
http://www.batmath.it/matematica/fondamenti/periodiche/periodiche.htm