3. Simmetrie e periodicità di una funzione.

a)Una funzione reale di variabile reale , definita nell’insieme D Í R, si dice:

1) funzione pari se:

                                    " x, - x Î D

2) funzione dispari se:

                                  " x, - x Î D

3) Una funzione reale di variabile reale , definita nell’insieme D Í R, si dice periodica di periodo w Î R  se:  

                               " xÎ D, x + wÎ D

OSSERVAZIONE

·         Ricordiamo che se  una funzione è pari il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y, mentre se è dispari è simmetrico rispetto all’origine O del riferimento Oxy. Pertanto una funzione pari o dispari, definita in D Í R, si può studiare nell’insieme [0, + ¥ [ Ç D.

·         Una funzione periodica di periodo w si può studiare in qualsiasi intervallo d’ampiezza w. Inoltre, se  e  sono funzioni trigonometriche elementari ed hanno periodo w allora anche la funzione  ±   ha periodo w, mentre la funzione   ha periodo w/2. Se invece i periodi  di  e   sono distinti, il periodo delle funzioni   ± ,  e   è il minimo comune multiplo dei singoli periodi.

Esempio 1.- La funzione   = - x⁴ + x²  definita in R  è pari. Infatti, si ha:

                       = - ( - x )⁴ + (- x )² = - x⁴ + x²  =

Pertanto la funzione si può studiare nell’intervallo D = [ 0, + ¥ [.

Notiamo anche che una funzione algebrica è pari se e solo se, nella sua equazione, la variabile x figura solo con esponenti pari.

Esempio 2.- La funzione    = 4x³ + 5x + 7x⁵  è dispari. Infatti, si ha:

                      =  4( - x )³ + 5( - x ) + 7( - x ) ⁵ =  - 4x³ - 5x - 7x⁵ =  - .

Pertanto la funzione  si può studiare nell’intervallo D = [ 0, + ¥ [.

Esempio 3.- La funzione  = sen x  + cos x  è periodica di periodo w = 2p. Infatti, "x ÎR si ha:

                     = sen (x + 2p) + cos (x + 2p) = sen x + cos x =     4

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