9. Concavità e convessità di una curva. Punti di flesso.

 

a) Concavità e convessità di una curva.

Sia  l’equazione  di una curva G in un piano Oxy e x = c l’ascissa di un punto P della curva.

Si dice che nel punto P d’ascissa x = c la curva G è concava se esiste un intorno H = ]c - d , c + d [ di c tale che:

 

                  

 

ossia se tutti i punti della curva d’ascissa x Î H non sono al disotto della tangente t alla curva nel punto P.

Mentre si dice che nel punto x = c la curva è convessa se esiste un intorno H = ]c - d , c + d [ di c tale che:

 

                  

 

ossia se tutti i punti della curva d’ascissa x Î H non sono al disopra della tangente t alla curva nel punto P.

Nella figura 1 ( risp.  2 ) è rappresentata una curva concava ( risp. convessa ) nel punto P.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Regola

Per determinare i punti in cui la funzione  definita nell’intervallo aperto ]a,b[, è concava o convessa si procede nel seguente modo3 :

1. si calcola la derivata seconda f¢¢ (x);

2. si risolve nell’intervallo ]a, b[ la disequazione f ¢¢ (x) > 0;

3. nei punti x = c che verificano ( risp. non verificano ) la suddetta disequazione la curva è  con-   

   cava ( risp. convessa ).

 

Esempio 1.- Calcolare i punti in cui la funzione y = x⁴ - 3x² + 1 è concava o convessa.