La derivata prima è  y¢ =  e la disequazione   ³ 0, risolta con riferimento al dominio D della funzione, è verificata "xÎ ] 0, + ¥[.  

Pertanto la funzione y è strettamente crescente per x > 0 e strettamente decrescente per x < -2.

 

Esempio 5.- Stabilire i punti di massimo e di minimo relativo della funzione  y = .

 

Il dominio della funzione è R. La derivata prima è y¢ = , ed è definita per x ¹ 0.

La disequazione y¢ ³ 0, ossia  ³ 0 è verificata " xÎ ] - ¥, 0[ È [8/9, + ¥ [.

Pertanto la funzione y presenta ( fig. 6 ) in x = 8/9 un minimo relativo:

 

 

   

Nel punto x = 0 la derivata prima non esiste, però esso è un punto di massimo relativo per la funzione, poiché esiste un intorno H di x = 0 in cui si ha:

 

                   .

 

Giova qui ricordare che la derivabilità di una funzione f(x) in un punto c non è una condizione essenziale affinché nel punto vi sia un massimo o un minimo relativo.

Infatti, un massimo o minimo relativo può aver luogo sia nei punti in cui = 0 sia nei punti in cui non esiste o diventa infinita. A tal proposito si vedano le seguenti figure.