"xÎ J = ]- ¥, -1[ È]1, + ¥ [ .

Pertanto la  funzione y è strettamente crescente nell’intervallo J e strettamente decrescente altrimenti, ossia in R - J.

Possiamo riassumere l’esame del segno della derivata prima in un prospetto (fig. 3)  del tipo:

                    

                  

ove si evidenzia che per x < - 1  e  x > 1 la funzione y è strettamente   crescente   e per -1< x < 1  è strettamente decrescente.

 

Esempio 2.- Stabilire gli intervalli in cui la funzione y =  è strettamente crescente.

La funzione y è definita in R - {1}. La derivata prima è y¢ = , e la disequazione  y¢ > 0 non ammette soluzioni reali.

Pertanto la funzione y è strettamente decrescente in R - {1}.

 

b) Massimi e minimi relativi.

Sia  una funzione definita nell’intervallo chiuso[a, b]. Si dice che f(x) presenta un punto di massimo relativo (fig. 4) in x = c, interno ad [a, b], se esiste un intorno H = ]c - d , c + d [ di c tale che:              

  f(x) £  f(c) ,      "xÎH.

 

Mentre si dice che la funzione f(x) presenta un punto di minimo relativo in x = c, se esiste un intorno H = ]c - d ,  c + d [ di c tale che:  f(x)  ³  f(c) ,     "xÎH.

 

Nella figura 4 è rappresentato un massimo relativo M₁  nel punto x = c₁, un minimo relativo N₁ in x = c₂, un massimo rel. M₃  nel punto x = c₃, un minimo relativo N₄  nel punto x = c₄.