7. Crescenza e decrescenza di una funzione. Massimi e minimi relativi.

 

a) Crescenza e decrescenza.

Una funzione , definita nell’intervallo aperto ]a, b[ di R, si dice strettamente crescente nel punto  x = c dell’intervallo ]a, b[  se esiste un intorno H = ] c - d , c + d [ di c tale che:

 

           f(x) >  f(c)            se   c < x < c + d 

 

           f(x) <  f(c)            se   c - d < x < c;

 

mentre si dice strettamente decrescente nel punto  x = c se esiste un intorno H =  ] c - d , c + d [  di c tale che:

    

          f(x) < f(c)              se   c < x < c + d 

 

          f(x) > f(c)              se   c - d < x < c.

 

Nelle figure 1 e 2 sono rappresentate rispettivamente una funzione strettamente crescente e una strettamente decrescente nell’intervallo ]a, b[.

 

          

 

Regola

Per determinare i punti in cui la funzione f(x), definita in ]a, b[, è strettamente crescente ( risp. strettamente decrescente ) si procede nel seguente modo:

 

1) si calcola la derivata[1] prima  f ¢ (x);

2) si risolve in ]a, b[ la disequazione f ¢(x) > 0;

3) la funzione è strettamente crescente nei punti x = c che verificano la disequazione  

    suddetta,  strettamente decrescente altrimenti.

 

Esempio 1.- Calcolare gli intervalli in cui la funzione y = 2x³ - 6x + 1 è strettamente  crescente.

 

La derivata prima è y¢ = 6(x²  - 1). La disequazione y¢ > 0, ossia 6(x² - 1) > 0, è verificata