10. Un
ulteriore metodo per la ricerca dei punti di flesso.
Per determinare i punti
di flesso di una curva grafico di una funzione y =
f(x), definita in ]a, b[ , si può procedere
anche nel seguente modo:
·
si
calcolano le derivate
,
;
·
si risolve
nell’intervallo ]a, b[ l’equazione
=
0;
·
ogni punto
x = c tale che
è:
un
punto di flesso ascendente se:
>
0,
un
punto di flesso discendente se:
<
0.
Se
occorre
esaminare
.
Se 
il
punto x = c non è un punto di flesso.
Mentre se
bisogna
calcolare in c le derivate successive fino a
trovare quella che in c non si annulla .
Se quest’ultima
è
di ordine dispari ( n dispari) si ha:
x =
c è un punto di flesso ascendente se:
>
0
x =
c è un punto di flesso discendente se:
<
0
Se invece
¹
0 è di ordine pari ( n pari) si ha:
x =
c è un punto in cui la curva grafico è concava
se:
>
0
x =
c è un punto in cui la curva grafico è convessa
se:
<
0
Esempio 1.-
Determinare i punti di flesso della curva y = 4x3
- x2
Si ha:
.
L’equazione y¢¢
= 0 ossia 24x - 2 = 0 ammette l’unica soluzione
x = 1/12.
Osservato che y¢¢¢(1/12)
= 24 > 0 si deduce che per x = 1/12 la curva
presenta un flesso ascendente.
Esempio 2.-
Determinare i punti di flesso della curva y = x4
- x2
Si ha:
y¢¢
= 12x2
- 2 , y
¢¢¢
= 24x