Esercizi svolti.

 

N.1.- Limitare e separare le soluzioni delle seguenti equazioni

        

1) x³ - 3x² - 6x + 8 = 0,  2) x⁴ + 8x³ + 3x² + 19x - 42 = 0,      3) x³ - 2x² -5x - 6 = 0 , 

4) 2x³ - 7x + 3 = 0,       5) x⁵ + 3x⁴ - 6,74x³ - 25,26x + 30,3 = 0.

 

Risoluzione

 

1) Incominciamo a determinare una limitazione[1] delle soluzioni dell’equazione.

Il 1° coefficiente  negativo è  A₂ = -3 ( p = 2),  A₃ = 1,  il massimo  in  valore assoluto dei coefficienti negativi è M = ½-6 ½= 6.

Pertanto, applicando la [4.F] si ha:

 

            = 1+ 6 = 7

       

cioè 7 è un limite destro delle soluzioni positive dell’equazione data. La trasformata a soluzioni uguali ed opposte dell’equazione è:

 

                          x³ + 3x² - 6x - 8 = 0.

 

Applicando la [4.F] per A₁ = -6, A₃ = 1 , A₂ = 3 e M =½ -8½ = 8 si ha:

 

        

 

 cioè - d =   è un limite sinistro  delle  soluzioni  dell’equazione assegnata. Pertanto l’intervallo ]  ; 7 [ contiene tutte le soluzioni dell’equazione data. Nel seguito, per semplicità, faremo riferimento  all’intervallo chiuso [-4;7]. Per determinare una separazione delle soluzioni consideriamo la successione di Sturm relativa all’equazione data.

Applicando la [3.F] per A = 1, B = -3, C = -6 e D = 8 si ha la successione:

 

                  

 

 

che nel passaggio da x = - 4 a x = 7 perde ( tab. 1) tre variazioni. Pertanto l’equazione data ammette in [- 4;7] tre soluzioni reali. Allo scopo di separare le soluzioni, dividiamo l’intervallo [-4,7] nei seguenti intervallini:

 

                     [- 4,0],     [0,2],       [2,5],       [5,7]

 

e applichiamo ad ognuno di essi il teorema di Sturm.

Così facendo si vede che gl’intervallini [-4,0] , [0,2] e [2,5] ontengono rispettivamente una soluzione, e si realizza una separazione delle stesse.