16.- Calcolo
approssimato delle soluzioni di una equazione.
Per determinare i valori
approssimati delle soluzioni di un’equazione:
16.1) f(x) = 0
si procede nel seguente
modo:
1.
si determina una limitazione
delle radici della (16.1), cioè un intervallo chiuso
[a,b]
che contiene tutte le soluzioni;
2. si determina per ogni soluzione x = c un
intervallo [a,
b]
Í
[a,b] e che contenga solo x = c;
3. si applica uno dei seguenti metodi di
approssimazione: metodo elementare, metodo delle corde o
regula falsi, metodo di Newton-Fourier.
Un intervallo [a,
b]
contenente un’unica soluzione della (16.1) si dice
intervallo di separazione della soluzione.
Si è realizzato una
separazione delle soluzioni della (16.1) se ogni
soluzione è stata separata.
Per effettuare una
separazione delle soluzioni di un’ equazione si usano
generalmente delle procedure empiriche (nel caso di
un’equazione algebrica si può applicare il teorema di
Sturm ) basate essenzialmente sulle nozioni di
continuità e derivabilità di una funzione definita in un
intervallo.
L’esistenza di almeno
una soluzione in un intervallo è garantita dal seguente:
Teorema degli zeri
Se y = f(x) è una
funzione, reale di variabile reale, definita e continua
in un intervallo [a,b] e se f(a) <
0 e f(b) > 0, allora esiste un punto c
Î
]a,b[ tale che: f(c) = 0.
Evidentemente tale
soluzione è unica se la funzione è anche strettamente
monotona in [a,b].
Metodo elementare
Sia x = c una soluzione
della (16.1) e [a,b] un suo intervallo di separazione.
Per determinare dei
valori approssimati della soluzione x = c si procede nel
seguente modo:
1.
Si divide l’intervallo [a,b] in n intervallini di
ugual ampiezza
,
ossia si considerano (fig.1) gl’intervalli: [a, a +
d],[a
+
d,
a + 2d],....,[a
+ (n -1)d,
a + nd]
2. si calcolano i valori
f(a) = f(x0 ), f(x1 ),......,f(xn
) = f(b);
3. si possono presentare
due eventualità:
j ) esiste
un indice i tale che f( xi ) = 0,
jj ) non è verificata la ( j )
Se è verificata la (
j ) si ha xi = c e quindi c è
determinata con esattezza; se è verificata la ( jj
) esisterà un indice i tale che f(xi )
× f(xi
+1) < 0, onde [xi , xi
+ 1 ] è un nuovo intervallo di separazione di
x = c. I numeri xi , xi
+ 1 sono due valori approssimati,
rispettivamente per difetto e per eccesso, di c,
con un errore non superiore a
d:
c - xi
£
d, xi
+ 1 - c
£
d.
Evidentemente si può
migliorare l’approssimazione ottenuta ripetendo il
ragionamento sull’intervallo [xi , xi
+ 1 ], ottenendo dei valori approssimati il
cui errore non supera
d1
= 
.
Iterando questa procedura si può migliorare a
piacere l’approssimazione, ossia si può rendere
piccola a piacere la differenza tra la soluzione x =
c e un suo valore approssimato.
Per n = 2 questo metodo si dice di bisezione.
Si
dice intervallo reale chiuso di primo estremo a
e secondo estremo b, e si denota con il simbolo
[a.b], il
seguente insieme
.