N.4.- Risolvere le seguenti equazioni non elementari:

 

1)  arcsen(x + 2) = p/2,   2) arccos( x² - 2) = 0,  3) arctg( 2x² - 15x + 7 ) = 0,

 

4) arctg(8x² -11x + 5) = arctg(- x² - 2x + 3),    5) arccotg(x²  - 2 -  ) = p/4,

 

6) arctg  .

 

Risoluzione

 

1) Osserviamo preliminarmente che l'argomento dell'arcoseno deve essere compreso nell'intervallo [-1, 1], ossia:

 -1 ≤ x  + 2 ≤ 1     Þ    -3 ≤  x ≤-1.

Ricordato, poi, che p / 2 = arcsen 1 si ha:

arcsen(x + 2) = arcsen 1

da cui essendo l’arcoseno una funzione iniettiva si ottiene l’equazione: 

x + 2 = 1   ossia     x = -1 (accettabile)

        

2) Osserviamo preliminarmente che l'argomento dell'arcocoseno deve essere compreso nell'intervallo [-1, 1], ossia:

 -1 ≤ x² - 2 ≤ 1  Þ   

Per risolvere l'equazione, ricordato che  0 = arccos ( p/2), si ha:

          arccos( x² - 2) = arccos ( p/2)

da cui essendo la funzione arcocoseno iniettiva si ha: 

 x² - 2 = p/2  Û

 (entrambe le soluzioni sono accettabili).

3) Osservato che 0 = arctg 0  si ha:

          arctg( 2x² - 15x + 7 ) = arctg 0

 

da cui essendo l’arcotangente una funzione iniettiva si ha:

          2x² - 15x + 7 = 0

  

avente le seguenti soluzioni: x = 7, x = 1/2.

 

4) Per risolvere l’equazione uguagliamo gli argomenti e si ha:

 

         8x² -11x + 5 = - x² - 2x + 3

 

da cui sommando i termini simili si ha l’equazione:

 

         9x² - 9x + 2 = 0

 avente le seguenti soluzioni: x = 1/3, x = 2/3.

 

5) Osservato che  p/4 = arccotg 1  si ha:

  arccotg(x²  + 1 -  ) = arccotg 1,

da cui essendo l’arcocotangente una funzione iniettiva si ha l’equazione:

         x²  - 2 -   = 1

 

aventi le seguenti soluzioni: .

6) x = ±1.