12. Equazioni trigonometriche.

Si dicono equazioni trigonometriche elementari le seguenti equazioni:

 

12.1)  sen x = m          12.2)    cos x = n

 

12.3)   tg x = p            12.4)    cotg x = h

 

con m, n, p, h numeri reali.

Se m, n Î]- ¥,-1[ È ]1, + ¥[ le equazioni (12.1) e (12.2) sono impossibili, mentre se m, n appartengono all’intervallo [-1,1] sono possibili. 

                        

  RISOLUZIONE IN R

Risoluzione di sen x = m
Distinguiamo due casi a seconda del segno di m.

1° Caso.- Se è 0 £ m £1  le soluzioni della (12.1) sono:

(12.1' )                         

con a angolo minimo tale sen a = m

2° Caso.- Se è  –1 £  m < 0 le soluzioni della (12.1)  sono:

 (12.1'' )                     

con  b angolo minimo tale sen b = - m e k ÎZ.

Risoluzione di cos x = n
Distinguiamo due casi a seconda del segno di n.

1° Caso.- Se è 0 £ m £1  le soluzioni della (12.2) sono:

 (12.2' )                

con a  angolo minimo  tale che cos a = n  e k Î Z.

2° Caso.- Se è  –1 £  m < 0 le soluzioni della (12.2)  sono:

 (12.2'' )             

con  b angolo minimo  tale che cos b = - n  e k Î Z.

Risoluzione di tg x = p
Distinguiamo due casi a seconda del segno di p.

1° Caso.- Se è p ³ 0  le soluzioni della (12.3) sono:

(12.3' )                      

con a angolo minimo tale che tg a = p  e k Î Z.

2° Caso.- Se è p < 0  le soluzioni della (12.3) sono:

(12.3'' )        

con  b angolo minimo tale che tg b = - p e k Î Z.

Risoluzione di cotg x = q
Distinguiamo due casi a seconda del segno di q.

1° Caso.- Se è h ³ 0 ( risp. h < 0 ) le soluzioni della (12.4) sono:

(12.4' )          

con a  angolo minimo tale che cotg a = h  e k Î Z.      

2° Caso.- Se è  h < 0  le soluzioni della (12.4) sono:

(12.4'' )             

con b angolo minimo tale che cotg b  = - h e k Î Z.

OSSERVAZIONE 1
Per k = 0 le formule (12.1¢), ..., (12.2¢¢) forniscono le soluzioni  relative all’intervallo [0,2p], ossia [0°, 360°],  delle equazioni (12.1) e (12.2).
Mentre per k = 0 e k = 1 le (12.3’), ... ,(12.4’’) forniscono le soluzioni in [0,2p], ossia [0°, 360°],  delle equazioni (12.3) e (12.4).

OSSERVAZIONE 2
Per esprimere le soluzioni di un’equazione trigonometrica in gradi sessagesimali basta sostituire ad a il corrispondente valore in gradi sessagesimali e a 2kp (risp. kp ) k360° ( risp. k180° ).