N.2.- Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche del tipo:     .

1) log₃ (x +1) = 0,     2) Log (x² - 1) = Log (5x - 5),  

3) ,   

 

4) log ₉ (15 + x) = log₃ (x + 3),          5) ,    

 

6) log(3x + 15 - x²) - log 3x =  log( 3x - 13) - log 6.

 

Risoluzione

 

1) Per la condizione di esistenza  della  funzione  logaritmo  bisogna  imporre  che l’argomento x + 1  sia positivo. Pertanto risolta la disequazione   x + 1 > 0  si vede che il dominio della funzione   f(x) = log₃ ( x + 1 )  è D = ] - 1,+ ¥ [.

Di conseguenza, per ogni  x Î ] -1,+ ¥ [ , l’equazione  data  è  equivalente alla seguente:

 

         log₃ ( x + 1 ) = log₃  1,             ( essendo log₃ 1= 0 )

 

da cui, essendo il logaritmo una funzione iniettiva, si ha:

 

         x + 1 = 1    Û     x = 0.

 

Pertanto l’equazione data ammette la soluzione x = 0, accettabile perchè appartiene a D.

2) Affinchè i logaritmi decimali del 1° e 2° membro abbiano senso occorre che:

 

         x² - 1 > 0,              5x - 5 > 0     [1]

         

Risolto il sistema di queste due disequazioni si vede che x appartiene all’insieme: ]1,+ ¥[ .
Pertanto," x Î ]1,+ ¥ [ l’equazione data è equivalente alla seguente:

 

         x² - 1 = 5x - 5  Û    x² - 5x + 4 = 0

 

avente per soluzioni x = 4, x = 1.
Quindi, osservato che 1Ï]1,+ ¥[ , si deduce che l’equazione data ammette soltanto la soluzione x = 4.

 

3) 1° Metodo

L’equazione data, " x Î ]1,+ ¥ [ è equivalente alla seguente: