1) L’equazione data è equivalente all’unione delle seguenti due:

         i )        x + 1 + 2x - 3 = 0         per  x  ³  -1

 

         ii )      - x - 1 + 2x + 3 = 0        per  x  <  -1

 

aventi rispettivamente per soluzioni x = 2/3 e x = -2. 

 

2) L’equazione data è equivalente all’unione delle seguenti due:

 

         i )    x² - 4 - 2x + 3 = 5 - x        per  x Î ]- ¥, -2 ] È [ 2, + ¥ [

 

         ii )   - x² + 4 - 2x + 3 = 5 - x     per  x Î ] -2 , 2 [.

 

La ( i ) ammette per soluzione x = - 2 e x = 3 (entrambe accettabili ), mentre la  ( ii ) ammette per soluzione x = 1, x = -2 delle quali solo la prima è accettabile appartenendo all’intervallo aperto ] -2 , 2 [. Pertanto l’equazione data ammette le seguenti tre soluzioni: x = -2, x = 1, x = 3. 

       

3) Per risolvere l’equazione data occorre determinare  preliminarmente il segno delle  espressioni  A(x) = 3x + 5 e B(x) = 2x - 5 che figurano sotto  il simbolo di  valore assoluto. A tale scopo si risolvono le disequazioni: 

 

         3x + 5 ³  0   Û     x  ³ -5/3

 

         2x - 5 ³  0    Û     x ³  5/2;

 

e si costruisce un prospetto del tipo:      

     

 

nel quale si evidenzia che:

 

    a) per  x < -5/3  risulta:             A(x) < 0   e  B(x) < 0;

 

    b) per -5/3 £ x £ 5/2  risulta:     A(x) ³ 0   e   B(x) £ 0;

 

    c) per x > 5/2   risulta:               A(x) > 0   e   B(x) > 0.

 

Di conseguenza l’equazione proposta è equivalente all’unione delle seguenti tre: 

 

    i)    - 3x - 5 - (- 2x + 5) = 7x + 1             per       x < -5/3

 

    ii)     3x + 5 - (-2x + 5) = 7x + 1              per      -5/3 £ x £ 5/2

 

    iii)    3x + 5 - (2x - 5) = 7x + 1                per      x > 5/2.