9. Equazioni con il valore assoluto.

 

Si dice equazione elementare con il valore assoluto ogni equazione del tipo:

 

9.1)     ½ A(x)½ =  P(x)

 

con A(x) e P(x) espressioni algebriche nell’incognita x. L’equazione (9.1) è equivalente all’unione delle seguenti due:

 

9.2)      A(x) = P(x),      per tutti i valori x tali che A(x) ³ 0

 

9.3)    - A(x) = P(x),      per tutti i valori x tali che A(x) < 0

 

Se P(x) = 0 l’equazione (9.1) equivale all’equazione A(x) = 0.
Se P(x) = p, con p numero reale positivo, la (9.1) è equivalente anche all'unione delle seguenti due equazioni:

A(x) = p ,             A(x) = -p
 

Se p è negativo l'equazione (9.1) non ammette soluzioni.

                                 

 

Osservazione
L'equazione (9.1) è equivalente anche all'unione dei seguenti due sistemi:

9.4)              

il che significa che per risolverla si possono risolvere o le equazioni (9.2) e (9.3) oppure il sistema (9.4).

 

Esercizi svolti.

 

N.1.- Risolvere le seguenti equazioni elementari con il valore assoluto:

 

1)   ½ x² - 5x + 6½= 0,       2) ½x³ - 9x² + 18x½= 0,    3) ,

4)  ½ x² - x½= 2,   5)½- 3x + 2½= 7,   6)½ 3 - x ½= -10,

7) ½ 3/ x +2x½= 5.

 

Risoluzione

 

1) L’equazione ½ x² - 5x + 6½= 0  è equivalente alla seguente:  x² - 5x + 6 = 0, che ammette per soluzioni x = 2,  x = 3
Pertanto le soluzioni dell’equazione data sono: x = 2,  x = 3.