8.   Equazioni irrazionali.

 

Un’equazione irrazionale è un’equazione in cui l’incognita figura sotto il segno di radice. Ad esempio, sono equazioni irrazionali le seguenti:

      

 

Per risolvere un’equazione irrazionale bisogna trasformarla in un’equazione razionale, cioè in una non contente radicali. Ciò si ottiene mediante successivi elevamenti a potenza di ambo i membri dell’equazione stessa .

Osserviamo esplicitamente che ogni qual volta si eleva, ambo i membri dell’equazione, ad un’esponente pari - per evitare l’introduzione di soluzioni estranee -  bisogna effettuare la verifica delle soluzioni.

 

 

Esercizi svolti.

 

N.1.- Risolvere le seguenti equazioni irrazionali contenenti un sol radicale quadratico.

 

1)   ,     2)  ,          3)  .

 

Risoluzione

 

1) Per risolvere l’equazione:

 

 *)     

 

eleviamo ambo i membri al quadrato e si ha:

 

           (x + 1)² =  x + 3    ossia   x²  +2x +1 = x + 3      Û      x²  + x - 2 = 0

 

da cui, risolta quest’ultima equazione, si ha: x = 1, x =  - 2.

       

Verifica per x = 1

Sostituendo x = 1 nella (*) si ha:  .

 

Verifica per x = -2

Sostituendo x = - 2 nella (*) si ha:  .

 

Pertanto l’equazione assegnata ammette solo la soluzione x = 1.

 

2) Per risolvere l’equazione  riscriviamola nel seguente modo:

        

                        ( abbiamo isolato il radicale )

 

da cui elevando ambo i membri al quadrato si ha: