b)
Equazioni algebriche di 3° grado.
La forma tipica di
un’equazione algebrica di 3° grado, nell’incognita x, è:
3.4) Ax3 +
Bx2 + Cx + D = 0
con A
¹
0, mentre la forma normale - ottenuta dalla (3.4)
dividendo per A - è:
3.5)
x3 +
ax2 + bx + c = 0
con
Dalla (3.5), mediante la
sostituzione x = t – a/3, si ottiene la forma
ridotta:
3.6)
t3 +
pt + q = 0
con
.
Le soluzioni t1
, t2 , t3 della (3.6) si ottengono
mediante la seguente formula di Cardano:
3.7)
con i unità immaginaria
( i2 = -1), e:
3.8)
.
ove le determinazioni
di u e v devono verificare la relazione: u
×
v = - p/3.
In definitiva le
soluzioni della (3.5) si ottengono dalla seguente
formula:
3.9)
con i = 1,2,3.
Il numero reale D =
si
dice discriminante della (3.6).
Se è D > 0 la (3.6)
ammette una soluzione reale e due complesse coniugate,
mentre se è D = 0 ammette tre soluzioni reali, di cui
due uguali.
Infine, se è D < 0 la
(3.6) ammette tre soluzioni reali* che possono essere
calcolate mediante la seguente formula:
3.10)
con
------------------------------------------
* Oppure estraendo le radici terze di un numero
negativo. Vedi
Estrazioni di radice di un numero complesso