3. Cenni sulle equazioni algebriche di grado n.

 

a)  La forma generale di un’equazione algebrica di grado n, nell’incognita x, è:

 

3.1)    A_n x ⁿ +A_{n - 1} x ^{n - 1} + A_{n - 2} x ^{n - 2} + ..... + A₁ x + A_o = 0

 

con  A _k  per k = 0,1,.......,n numeri reali ( A _n ¹ 0), e n intero positivo.

 

Teorema fondamentale.
Ogni equazione del tipo (3.1) ammette almeno una soluzione reale o complessa.

 

Dal teorema fondamentale segue che la (3.1) può scriversi in forma di prodotto nel seguente modo:

 

3.2)         A_n ( x - x₁  ) ( x - x₂  )..........( x - x_n  ) = 0.

 

con x₁  , x₂ ,........., x_n  soluzioni reali o complesse  della (3.1).

Una soluzione della (3.1) si dice semplice se è distinta dalle rimanenti n - 1 soluzioni, mentre si dice multipla d’ordine t, o che ha molteplicità t, se esistono t soluzioni uguali.

Esempio 1.- L'equazione di quarto grado ( x - 1 )⁴ =  0 ammette quattro soluzioni tutte uguale ad 1, ossia ammette la soluzione x = 1 con molteplicità 4.
L'equazione di sesto grado (x - 3)²( x + 1 )⁴ =  0 ammette 6 soluzioni, x = 3 di molteplicità 2 e x = -1 di molteplicità 4, ossia:
 

x₁ = 3,  x₂ = 3,   x₃ = -1,  x₄ = -1,  x₅ = -1,  x₆ = -1

L'equazione di 2° grado x² + 4x + 4 =  0 ammette 2 soluzioni uguali, ossia ammette la soluzione x = -2 di molteplicità 2.

Esempio 2.- L'equazione di quarto grado x⁴ + 2x³ - 17x² - 18x + 72 = 0 ammette 4 soluzioni reali: x₁ = 2, x₂ = 3  x₃ = -4, x₄ = -3. In base alla (3.2) si può scrivere nel seguente modo:
 

(x  - 2)(x - 3)(x + 4)(x + 3) = 0  _.

 

Esempio 3.- L'equazione di quarto grado x⁴ - 1 = 0 ammette due soluzioni reali e due complesse coniugate. In base alla (3.2) si può scrivere nel seguente modo:
 

(x  - 1)(x +1)(x + i)(x - i) = 0

_{con i unità immaginaria.}

Teorema

Un’equazione algebrica del tipo (3.1) ammette almeno una soluzione reale se è di grado dispari, mentre ammette un numero pari di soluzioni complesse se è di grado pari.

 

Teorema

L’equazione (3.1) può sempre essere scritta  nel seguente modo:

 

3.3)   

 

ossia è sempre decomponibile nel prodotto di a₁x + b₁ ,..., a_ix + b_i   polinomi in R di 1° grado a due a due primi tra loro, e di    polinomi di 2° grado con discriminante negativo e a due a due primi tra loro, ove  p ₁ , p₂ ,...,p _i  e  q₁ , q₂ ,..., q_j sono i relativi ordini di molteplicità. Evidentemente si ha:

 

              n = 2( q₁ + q₂ +...+ q _j ) + p ₁  + p₂ +...+ p _i

 

con n grado della (3.1).

Esempio 4.- L'equazione di quarto grado x⁴ - 4x³ + 2x² + x + 6 = 0 ammette solo due soluzioni reali: x₁ = 2, x₂ = 3 . In base alla (3.3) si può scrivere nel seguente modo:
 

(x  - 2)(x - 3)(x² + x + 1) = 0  
 

ove il discriminante del polinomio x² + x + 1 è negativo (Δ = -3), e l'equazione di secondo grado x² + x + 1 = 0 ammette due soluzioni complesse coniugate.

Osserviamo, infine, che un’ equazione[1] algebrica di grado n > 4 non è  in generale risolubile per radicali, ossia non esiste una formula risolutiva che esegua sui coefficienti A_i solo operazioni razionali ( addizione, sottrazione, moltiplicazione, elevamento a potenza ) ed estrazioni di radici. Infatti, sussiste il seguente:

 

Teorema di Ruffini - Abel.

Per n ³ 5, l’equazione generale (3.1) non è risolubile per radicali.