Infine riportiamo la successione di Sturm relativa all’equazione completa di 3°:

 

3.F]    

 

 

b) Limitazione delle soluzioni di un’equazione algebrica.

Limitare le soluzioni reali di un’equazione del tipo [1.F] significa determinare un intervallo ]d₁ , d₂[ contenente ognuna di tali soluzioni.

Se l’equazione [1.F] ammette soluzioni sia positive che negative ( ma non  nulle) allora l’intervallo   ]0,d₂ [ ( risp.] d₁ ,0[ )  delimita solo le soluzioni positive ( risp. negative), e il numero reale d₂   (risp. d₁ ) si dice limite destro  ( risp. sinistro )  delle  soluzioni  positive ( risp. negative).

Un limite destro delle soluzioni positive  dell’equazione [1.F] è  il minimo dei numeri:

 

4.F]       (regola di Lagrange )

 

ove p è l’indice del primo coefficienti negativo, A_i un coefficiente positivo che precede A_p e M il massimo valore assoluto dei coefficienti negativi.

Per determinare un limite sinistro delle soluzioni negative  della [1.F] si procede nel modo seguente:

1. si considera l’equazione:

 

 5.F]          f(-x) = 0

 

trasformata a soluzioni uguali ed opposte della [1.F];

2. se d è  un limite destro delle soluzioni positive della [5.F] allora   - d  è un limite sinistro delle soluzioni negative della [1.F].

 

 

Esempio 1.- Determinare una limitazione delle soluzioni per l’equazione:

                    (*)  .