Teorema di Sturm. Limitazioni delle radici di un’equazione algebrica.

 

a) Sia:

1.F]      f(x) =   = 0

 

un’equazione algebrica con A_k  Î R   " k = 0,1,...,n  e priva di soluzioni multiple. Si dice successione di Sturm relativa all’equazione [1.F] la seguente:

 

 2.F]        f₁ (x), f₂ (x),  - f₃ (x),........,- f_{p -1} (x), - f_p (x)

 

ove    f₁ (x) = f(x),  f₂ (x) = f ¢(x ) =        (f ¢ (x ) è la derivata prima di f(x)  ),     f_i (x) " i = 3,.....,p1    è il resto della divisione    .

 

Le funzioni  f_i (x) " i = 1,.....,p si dicono funzioni di Sturm per la [1.F].

Si dice che due termini consecutivi f_i (x) e f_i+1 (x) della [2.F] presentano per x = a una  variazione (risp. permanenza) se f_i (a) e  f_i+1 (a)  hanno segni opposti (risp. uguali).

Osserviamo che se  b <  a allora  il numero delle variazioni presentate dalla successione di Sturm per x =  b  è minore o uguale a quello  presentato per x = a.

 

Teorema di Sturm2

Il numero delle variazioni perdute dalla  successione  di  Sturm  nel  passaggio  dal  valore x = a  al valore  x =  b   (a >  b)  dà il numero  delle  radici  reali  dell’equazione  [1.F]  nell’intervallo ] a,b].

 

Esempio 1.- Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione     x³  + x + 1 = 0    

nell’intervallo [-1,0] .

       

La successione di Sturm relativa all’equazione data è:

 

*)    f₁ (x) = x³  + x + 1,   f₂ (x) = 3x² + 1,        f₃ (x) = ,   f₄ (x) = -

 

e nel  passaggio da x = -1 a x = 0 perde una variazione  (vedi tab.1).

Pertanto nell’intervallo [-1,0] l’equazione data ammette  una sola soluzione, e ] -1,0[ è un intervallo di separazione della soluzione.