f(x) = g(x)         Û    f(x) × h(x) = g(x)× h(x)

 

 

Ricordiamo inoltre le seguenti conseguenze dei principi di equivalenza:

 

1.    In un’equazione è lecito trasportare qualsiasi  termine da un membro all’altro purché gli si cambi il segno.

2.    Trasportando tutti i termini di un’equazione al 1° membro si ottiene un’equazione avente al 2° membro solo lo zero.

3.    Si può semplificare un fattore comune non nullo presente in ambo i membri di un’equazione.

4.    In un’equazione è lecito cambiare tutti i segni dei suoi termini.

5.    Un’equazione intera a coefficienti fratti si può trasformare in un’altra equazione in cui non compaiono i denominatori.

 

 

NOTA

Infine vogliamo evidenziare, con qualche esempio, alcuni errori molto comuni.

 

Esempio 3. - Risolvere la seguente equazione: 15x - 3 = 10x - 2.

        

Si potrebbe pensare di risolvere l’equazione nel seguente modo:

 

                     15x - 3 = 10x - 2    Û      3(5x - 1) = 2(5x - 1)

 

da cui dividendo per 5x - 1, si ha:    

 

                            3 = 2     (assurdo).

 

Orbene, tale ragionamento è sbagliato, e l’errore consiste nell’aver diviso per 5x - 1, infatti  così  facendo  abbiamo soppresso l’unica soluzione x = 1/5 dell’equazione data .

La risoluzione corretta è la seguente:

 

                     15x - 3 = 10x - 2   Û    15x - 10x = 3 - 2    Û     5x = 1  Û   x = 1/5

 

Esempio 4.-  Risolvere l’equazione:  .

 

L’equazione è definita in C.E. = R - í± 1ý. Moltiplicando  il   1°   e   2°  membro  per  il  minimo  comune  denominatore (x - 1)(x + 1) si ha l’equazione:

 

                            x + 1 = 0

 

avente per soluzione x = - 1.
Orbene, concludere che x = - 1 è soluzione anche dell’equazione data è errato  in quanto  - 1 Ï C.E.

                            

Esempio 5.-  Risolvere la seguente equazione:  .

 

L’equazione è definita in C.E. = . Elevando al quadrato ambo i membri si ottiene l’equazione: 2x - 6 = 0 avente per soluzione x = 3.  Orbene, osservato che 3 Î C.E. si potrebbe concludere che x = 3 è soluzione anche dell’equazione assegnata. Tale conclusione è errata come facilmente si dimostra effettuando la verifica:

 

                          (assurdo).

 

 

Esempio 6.- Risolvere nell’insieme dei numeri interi Z l’equazione: 3x² - 5x - 2 = 0.

 

Applicando la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado si ottiene:

 

                                  x = 2       e    x = -1/3;

 

però l’unica soluzione accettabile è x = 2, in quanto x = - 1/3 Ï Z .