APPENDICE A

 

Generalità  sulle equazioni.

La forma normale di un’equazione in un’incognita è:

 

1.A]          f(x) = 0

 

con f(x) espressione[1]  nella variabile x ( detta incognita ).

Si dice campo di esistenza dell’equazione [1.A] l’insieme dei valori x tali che f(x) Î R, e si denota con il simbolo C.E.

Si dice soluzione dell’equazione  [1.A] ogni valore numerico c Î C.E.  tale che f(c) = 0; se c_{1 ,} c₂ ,  .....,c_n ... sono soluzioni della [1.A] , l’insieme:

 

       S =

 

si dice insieme soluzione della [1.A].

Risolvere un’equazione significa determinare l’insieme soluzione.

Se  S = íÆý la [1.A] si dice impossibile, se S ha cardinalità n si dice determinata, se S è infinito si dice indeterminata.

In generale risulta  S  Í C.E., se però S = C. E. l’equazione è un’identità in C.E..

Due equazioni f(x) = 0 e g(x) = 0 , definite nello stesso insieme , ed aventi rispettivamente per insieme soluzioni S₁ e S₂ si dicono equivalenti se S₁ = S₂ .

Per indicare che le suddette equazioni sono equivalenti si scrive:

 

                  f(x) = 0  Û g(x) = 0

 

Il simbolo Û si legge: “ è equivalente a “.

Un’equazione si dice algebrica se la variabile x è sottoposta solo ad operazioni razionali o di elevamento ad esponente fratto; trascendente se è sottoposta a operazioni  trascendenti.

    

Esempio 1.-  Sono  algebriche le seguenti equazioni:

 

                   x + 1 = x² + 3x,   2x - 5 = log 3 - 3x,    ,  .

 

Esempio 2.- Sono trascendenti le seguenti equazioni:

 

                   .

 

1° Principio di equivalenza.

Siano f(x), g(x) e h(x) tre funzioni reali definite nell’intervallo chiuso [a,b], allora si ha :

       

                  f(x) = g(x)        Û     f(x) + h(x) = g(x) + h(x)

 

2° Principio di equivalenza

Siano f(x), g(x) e h(x) tre funzioni reali definite nell’intervallo chiuso [a,b], con h(x) ¹ 0 " x Î [a,b], allora si ha: