La programmazione lineare può tornare utile alle aziende. Un tipico esempio di problema aziendale è il seguente:

Esempio 1.- Un'impresa produce due tipi di uno stesso articolo: il tipo I di lusso e il tipo II più corrente. I profitti unitari sono rispettivamente p₁ = 300 per il I e p₂ = 180 per il II.
I dati tecnici relativi alla produzione sono:

• Il tempo di lavorazione del prodotto I è di 2 ore, quello del prodotto II è di una ora; inoltre, se la produzione fosse limitata solo al tipo II la massima capacità produttiva dell'azienda sarebbe di 600 pezzi al giorno.

• ogni pezzo del tipo I e del tipo II richiede 1 kg di materia prima e la massima disponibilità di materia prima è di 500 kg al giorno.

• Il prodotto di tipo I richiede un accessorio la cui disponibilità massima è di 250 unità al giorno;

• Il prodotto di tipo II richiede un accessorio corrente la cui disponibilità massima è di 450 al giorno.
  
  Determinare quanti pezzi al giorno occorre produrre del tipo I e quanti del tipo II  affinché il profitto complessivo sia massimo?

Per affrontare questo problema servono delle nozioni di matematica che riguardano le funzioni di due o più variabili e i metodi per calcolare i massimi e minimi delle funzioni di più variabili adattate allo scopo e semplificati per arrivare più rapidamente alla soluzione; la branca della matematica che si occupa di risolvere i problemi del tipo indicato si chiama Programmazione lineare
 

1. Programmazione lineare.

Data una funzione lineare di due variabili reali:

z(x,y) = px + qy

 con p e q costanti reali, e i vincoli:

x ³ 0, y ³ 0

 ax+by+c £ 0,  a'x + b'y + c' £ 0,  a''x + b''y + c'' £ 0 ...

vogliamo ricercare il massimo (minimo) della funzione z(x,y) sotto le condizioni espresse dai vincoli. Il suddetto problema è un problema di programmazione lineare espresso in linguaggio matematico. La funzione z(x,y) si dice funzione obiettivo (o obbiettivo!) mentre i vincoli x ³ 0, y ³ 0 si dicono vincoli di segno e i restanti vincoli tecnici.

Naturalmente si può porre anche un problema di programmazione lineare per una funzione di n variabili reali

z(x₁, x₂,...,x_n) = p₁x₁ + p₂x₂+...+p_nx_n

sotto le condizioni (m vincoli) tecniche:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂+....+a_1n x_n£ b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n£ b₂

...,

a_m1x₁ + a_m2x₂+...+ a_mn x_n £ b_m

e con gli n vincoli di segno

x₁ ³ 0, x₂³ 0, ..., x_n³ 0

 

ove a_ij e b_i  sono numeri reali per i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2,...n.

I vincoli dunque sono m + n e le variabili n e vogliamo ricercare il massimo (minimo) della funzione lineare z.

Esempio 2.Dati la funzione lineare:

 z(x₁, x₂, x₃) = 20x₁ + 50x₂- 100x₃

i vincoli tecnici:

3x₁ +2x₂+ x₃ £ 100
x₃ £ 500
x₁ + x₂ + x₃ £ 200
4x₁ +2x₂- x₃ ³ 0
 

e i vincoli di segno x₁ ³ 0, x₂ ³ 0, x₃ ³ 0, ricercare il massimo della funzione z.

In questo problema le variabili reali sono tre, i vincoli tecnici quattro e i vincoli di segno 3, per un totale di sette vincoli.

In relazione all'esempio 1 invece bisogna risolver il seguente problema di ottimizzazione:

G(x,y) = 300x+180y   funzione obiettivo

2x + y  £ 600

x + y  £ 500

0  £x £ 250

0 £ y  £ 450

ove G(x,y) è la funzione da massimizzare e x ed  y rappresentano rispettivamente le quantità da produrre dei prodotti di tipo I e di tipo II.

...continua...