Programmazione lineare- Giulio D. Broccoli

   

La programmazione lineare (vedi storia) può tornare utile alle aziende. Un tipico esempio di problema aziendale è il seguente:

Esempio 1.- Un'impresa produce due tipi di uno stesso articolo: il tipo I di lusso e il tipo II più corrente. I profitti unitari sono rispettivamente p1 = 300 per il I e p2 = 180 per il II.
I dati tecnici relativi alla produzione sono:

  • Il tempo di lavorazione del prodotto I è di 2 ore, quello del prodotto II è di una ora; inoltre, se la produzione fosse limitata solo al tipo II la massima capacità produttiva dell'azienda sarebbe di 600 pezzi al giorno.

  • ogni pezzo del tipo I e del tipo II richiede 1 kg di materia prima e la massima disponibilità di materia prima è di 500 kg al giorno.

  • Il prodotto di tipo I richiede un accessorio la cui disponibilità massima è di 250 unità al giorno;

  • Il prodotto di tipo II richiede un accessorio corrente la cui disponibilità massima è di 450 al giorno.

    Determinare quanti pezzi al giorno occorre produrre del tipo I e quanti del tipo II  affinché il profitto complessivo sia massimo?


Per affrontare questo problema servono delle nozioni di matematica che riguardano le funzioni di due o più variabili e i metodi per calcolare i massimi e minimi delle funzioni di più variabili adattate allo scopo e semplificati per arrivare più rapidamente alla soluzione; la branca della matematica che si occupa di risolvere i problemi del tipo indicato si chiama Programmazione lineare
 

1. Programmazione lineare.

Data una funzione lineare di due variabili reali:

z(x,y) = px + qy

 con p e q costanti reali, e i vincoli:

x ³ 0, y ³ 0

 ax+by+c £ 0,  a'x + b'y + c' £ 0,  a''x + b''y + c'' £ 0 ...

vogliamo ricercare il massimo (minimo) della funzione z(x,y) sotto le condizioni espresse dai vincoli. Il suddetto problema è un problema di programmazione lineare espresso in linguaggio matematico. La funzione z(x,y) si dice funzione obiettivo (o obbiettivo!) mentre i vincoli x ³ 0, y ³ 0 si dicono vincoli di segno e i restanti vincoli tecnici.

Naturalmente si può porre anche un problema di programmazione lineare per una funzione di n variabili reali

z(x1, x2,...,xn) = p1x1 + p2x2+...+pnxn

sotto le condizioni (m vincoli) tecniche:

a11x1 + a12x2+....+a1n xn£ b1

a21x1 + a22x2+...+a2nxn
£ b2

...,


am1x1 + am2x2+...+ amn xn
£ bm

e con gli n vincoli di segno

x1 ³ 0, x2³ 0, ..., xn³ 0

 

ove aij e bi  sono numeri reali per i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2,...n.

I vincoli dunque sono m + n e le variabili n e vogliamo ricercare il massimo (minimo) della funzione lineare z.

Esempio 2.Dati la funzione lineare:

 z(x1, x2, x3) = 20x1 + 50x2- 100x3

i vincoli tecnici:

3x1 +2x2+ x3 £ 100
x3 £ 500
x1 + x2 + x3 £ 200
4x1 +2x2- x3 ³ 0
 

e i vincoli di segno x1 ³ 0, x2 ³ 0, x3 ³ 0, ricercare il massimo della funzione z.

In questo problema le variabili reali sono tre, i vincoli tecnici quattro e i vincoli di segno 3, per un totale di sette vincoli.

In relazione all'esempio 1 invece bisogna risolver il seguente problema di ottimizzazione:

G(x,y) = 300x+180y   funzione obiettivo

2x + y  £ 600

x + y  £ 500

0  £x £ 250

0 £ y  £ 450

ove G(x,y) è la funzione da massimizzare e x ed  y rappresentano rispettivamente le quantità da produrre dei prodotti di tipo I e di tipo II.

...continua...

 

 

 

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