3.
Scomposizione in fattori di un numero naturale o di un
polinomio.
a)
Fattorizzazione di un
numero naturale
La scomposizione di un
numero naturale in fattori primi si fonda sul seguente:
Teorema
Ogni numero naturale n o è primo
o si può scrivere in modo unico, a meno dell’ordine,
come prodotto di fattori primi.
Per scomporre un numero
naturale sono utili i seguenti criteri di divisibilità:
·
Un numero
è divisibile per 2 se l’ultima cifra è pari o zero.
·
Un numero
è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è
divisibile per 3
·
Un numero
è divisibile per 5 se l’ultima cifra è 5 o zero.
·
Un numero
è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle
cifre di posto dispari e di posto pari è 0 o 11 o un
multiplo di 11.
Criterio generale o
definizione di divisibilità
Un numero naturale n è
divisibile per un numero m se la divisione n : m dà
resto zero.
Esempio 1.
Scomporre i seguenti numeri 24, 63, 47 in fattori
primi. Si ha:
b)
Fattorizzazione di un polinomio
Fattorizzare un
polinomio significa scriverlo come prodotto di due o
più polinomi di grado inferiore.
Un polinomio si dice
primo o irriducibile se non è fattorizzabile. Osserviamo
che ogni polinomio di primo grado è primo.
Per fattorizzare un
polinomio non esiste un metodo generale; negli esempi
seguenti presentiamo alcuni artifici.
Esempio 1.-
Il polinomio
si
può decomporre nel prodotto del polinomio 3x per
il polinomio di secondo grado
.
Infatti si ha:
