13. Speranza matematica

a) Sia g il guadagno di una probabile vincita ad un gioco G qualsiasi, p la probabilità di conseguirlo, 1- p la probabilità di perdere e x la posta versata per partecipare al gioco G.
Il gioco G si dice equo se risulta:

1)                                           x : g  =  p : (1- p)          [ o anche g p = x(1-p) ]

 

 

b) Siano T ed S due giocatori che prendono parte ad uno stesso gioco G, p_T e p_S le rispettive probabilità di vincere e  g_T , g_S i loro rispettivi guadagni.
Il gioco tra T ed S si dice equo se:

2)                                         p_T  :  p_S =   g_T  : g_S

 

Esempio 1. Un giocatore estrae da un mazzo di 40 carte italiane una carta e vince 270 euro se esce un asso. Quanto deve versare affinché il gioco sia equo?
 

La probabilità di estrasse un asso è p = 4/40 = 1/10; la probabilità contraria è: 1 – p = 1 -1/10 = 9 /10.

Pertanto la posta x da pagare, calcolare in base alla proporzione (1) è:

 

x : 270 = 1/10: 9/10

 

ossia

 

 

Per partecipare al gioco bisogna versare 30 euro.

 

Esempio 2. Lanciando un dado un giocatore vince euro 18 se esce il 6 e in caso contrario perde 6 euro. Il gioco è equo?

La probabilità che esce il 6 è p = 1/6 e la probabilità contraria è p = 5/6. Il gioco è equo se risulta 

x : g  =  p : (1- p) 

con x = 6 euro e g = 18 euro.

Visto che dalla proporzione si ricava

  ,

si deduce che il gioco non è equo.

 

Esempio 3. Stabilire che nel il Lotto italiano non è un gioco equo.

Ragioniamo per l’ambo, analogamente si ragiona negli altri casi.
La probabilità di ottenere un ambo, giocando due numeri su una sola Ruota, è p = 2/801.
La probabilità contraria è 1 – p = 1 - 2/801 = 799/801.
Ricordato che il guadagno g, ipotizzando di giocare 1 euro, è 250 euro, in base alla proporzione (1) si trae che il gioco non è equo.
Infatti, si ha: 

1 : 250   ≠ 2/801 : 799/801 

Il gioco sarebbe equo se lo Stato pagasse, in caso di vincita, 399,5 euro, come facilmente si vede ricavando g dalla (1):