5. Formula di Bayes
La
probabilità che, essendo H1 e H2
le cause incompatibili che possono determinare l'evento
E, questo sia prodotto dalla causa H1 è:
.
La
suddetta formula è detta anche Regola di Bayes per la
probabilità delle cause o anche formula di Bayes per la
probabilità delle ipotesi..
Esempio 1.
Siano dati cinque sacchetti composti nel seguente
modo:
2 sacchetti (composizione S) contenenti due palline
rosse e tre nere;
2 sacchetti (composizione T) contenenti una pallina
rossa e quattro nere;
1 sacchetto (composizione Z) contenente quattro palline
rosse ed una nera.
Si
estrae a caso da un sacchetto una pallina ed è rossa..
Determinare la probabilità che la pallina sia stata
scelta dal sacchetto della composizione Z.
Denotiamo con E l’evento la pallina è rossa.
La probabilità che la pallina rossa sia estratta
rispettivamente dalle composizioni S, T, Z è:
,
,
Mentre la probabilità dell’evento E dati rispettivamente
gli eventi S, T, Z è:
Pertanto, applicando la formula di Bayes, si ha:
Esempio
2.
Il Signor Rossi compra un'auto Ford da uno dei
rivenditori A, B, C. Sapendo che il rivenditore A
possiede 15 Ford, 12 Renault e 10 Fiat, il rivenditore B
possiede 8 Ford, 2 Renault e 7 Fiat, e il rivenditore C
possiede 1 Ford, 1 Fiat e 1 Renautlt, calcolare la
probabilità che la Ford acquistata sia stata venduta dal
rivenditore C.
Risolvi Tu o devo sempre risolvere io?
Dai, inizia tu, io sono stanco!
Esempio 3.
In un laboratorio, due operai T e Z producono un oggetto
di un certo tipo nelle seguenti percentuali
rispettivamente 60% e 40%.
L'oggetto prodotto da T è di qualità alta (A) nel 70%
dei casi, di qualità media (M) nel 20% e di qualità
scadente (S) nel 10% dei casi; mentre quello prodotto da
Z è di qualità A nel 80% dei casi, di qualità M nel 15%
dei casi e di qualità S nel 5% dei casi.
Scegliendo a caso un oggetto prodotto nel laboratorio, e
se risulta di qualità A, qual è la probabilità che
l'abbia prodotto l'operaio T?
Risoluzione?
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