3. Eventi indipendenti e dipendenti  Probabilità composta. Probabilità condizionata

 

Ricordiamo che

 

• si dice probabilità composta di due eventi E₁ ed E₂ la probabilità dell’evento
  E₁ÇE₂  . E₁ÇE₂  avvolte viene indicato con il simbolo E₁E₂ 
• Due eventi E₁ ed E₂ si dicono indipendenti se , ossia se la probabilità di ciascuno di essi non è influenzata dal verificarsi o meno dell'altro. Ricordiamo, inoltre, che se se gli eventi E₁ e E₂ sono indipendenti  anche le coppie di eventi

 

 

            sono indipendenti. 

• Due eventi si dicono dipendenti se non sono indipendenti
• Il simbolo  indica la probabilità dell’evento E₂ condizionata dal verificarsi dell’evento E₁ , e si legge “probabilità di E₂ dato E₁“.
  
   

 

a) Probabilità composta di eventi indipendenti. In tal caso la probabilità dell’intersezione di due eventi E₁, E₂  è

 

    

 

Ricordiamo che il verificarsi della suddetta uguaglianza è condizione necessaria e sufficiente affinché due eventi siano indipendenti.

Esempio 1. Un’urna contiene 4 palline rosse e 5 bianche. Estraendo successivamente due palline calcolare la probabilità che la prima pallina sia rossa e la seconda bianca. Ipotizzare che dopo la prima estrazione la pallina venga reimmessa nell’urna.

Gli eventi sono:

E₁ ={la prima estrazione dà una pallina rossa }
 

E₂ ={la seconda estrazione dà una pallina bianca},

 

E₁ ÇE₂  ={ alla prima estrazione esce una pallina rossa e alla seconda una bianca}

 

Osserviamo che la reimmissione della prima pallina estratta rende gli eventi E₁, E₂  indipendenti. Nel caso in cui non ci fosse reimmissione gli eventi non sarebbe indipendenti perché lo spazio campionario cambierebbe, ossia l’urna conterrebbe alla prima estrazione 9 palline in totale e alla seconda 8.

Gli eventi E₁, E₂ , E₁ ÇE₂  hanno rispettivamente probabilità:

 

,         ,