Calcolo delle probabilità
1. Frequenza e probabilità classica.
a)
Frequenza
con
n numero di prove eseguite, e s numero di
successi nelle n prove.
b)
Probabilità classica. La probabilità p che
si verifichi un evento E è:
,
con
n numero di casi possibili ed equiprobabili, ed
f numero dei casi favorevoli. Se
l'evento
E si dice impossibile, se
l'evento
si dice certo.
Esempio 1.
Calcolare la
probabilità che esca una carta di cuori estraendone una
da un mazzo di 52 carte internazionali.
L'evento E ={esce una carta di cuori } ha la
seguente probabilità:
Osservazione 1.
La probabilità dell'evento
,
contrario dell'evento E, è:
.
Osservazione 2.
Interpretando, come è
lecito, gli eventi casuali come degli insiemi e indicato
lo spazio campionario di tutti gli eventi casuali con U
(evento certo) e con
Æ
l’evento impossibile, si ha:
P(U) = 1 e P(Æ)
= 0,
ed inoltre ogni evento
casuale E si potrà interpretare come un sottoinsieme di
U: E
Í
U.
Quindi si potranno estendere agli eventi casuali le
ordinarie operazioni di unione, intersezione, e
differenza tra insiemi, nonché considerare l’inclusione
tra insiemi (eventi), la cardinalità di un insieme...
ecc.
Ad esempio, la scrittura insiemistica E1
Ì
E2 indicherà che ogni volta che si verifica
l’evento E2 si verifica anche E1,
mentre il simbolo indicherà
l’evento complementare di E.
La scrittura E = E1ÈE2
indicherà che l’evento E è equivalente al fatto che si
verifichi almeno uno degli eventi E1 ed E2
, mentre l’evento F = E1
Ç
E2 indicherà che F è equivalente al fatto
che si verifichino entrambi gli eventi E1 ed
E2 .
2. Probabilità totale
9. Probabilità totale.
Ricordiamo
che
-
Si dici probabilità
totale o dell’unione due eventi E1
ed E2 la probabilità dell’evento
E1
ÈE 2
, indicato avvolte anche con E1 +E
2 .
-
Due eventi E1
ed E2 si dicono incompatibili se E1
Ç E2
=
Æ, ossia se
non possono verificarsi contemporaneamente.
-
Due eventi E1
ed E2 si dicono compatibili se non
sono incompatibili.
a)
Probabilità totale di eventi incompatibili. In tal
caso, la probabilità dell’unione di due eventi E1
, E2 è :
Esempio 1.
Calcolare, nel lancio di un dado, la probabilità che
esca il numero 6 o un numero dispari.
Gli
eventi sono E1 ={6}, E2 ={1,3,5}
sono incompatibili poiché E1
ÇE2
=
Æ.
Quindi si ha:
b)
Probabilità totale di eventi compatibili. In tal
caso la probabilità dell’unione di due eventi E1
, E2 è
Osservazione
Se E1
Í E2
implica E1
Ç
E2 = E1
e quindi si ha:
p(E1
È E2) =
p(E2).
Esempio 2.
Calcolare, nel lancio di un dado, la probabilità che
esca un numero minore di 4 o dispari.
Gli
eventi E1 ={1,2, 3}, E2 ={1,3}
sono compatibili poiché E1
ÇE2
={1, 3}. Quindi si ha:
