Pertanto, dall’essere uguali i secondi membri delle suddette uguaglianze, saranno uguali anche i primi membri, ossia .
La proprietà enunciata si può anche giustificare nel seguente modo. Se prendiamo k degli n elementi in modo da formare una combinazione di classe k  i restanti n - k elementi formano una combinazione di classe n - k.

Quindi per ogni combinazione di classe k si ha una corrispondente combinazione di classe n - k e, di conseguenza, le combinazioni di classe k e quelle di classe n - k sono in ugual numero.

 

Ad esempio, le combinazioni di 8 elementi di classe 3 sono in ugual numero alle combinazioni di 8 elementi di classe 5 = 8 – 3.

 

c) Proprietà di Stiefel. Vogliamo dimostrare che .

Dimostrazione.
Per dimostrare la proprietà sviluppiamo la somma  e verifichiamo che è uguale a .

Si ha:

 

 

da cui, tenuto conto che  e , calcolato il m.c.m tra i denominatori si ha:

 

 

.

 

d) Proprietà di ricorrenza. Vogliamo dimostrare che .

Si ha:

 

 

Esempio 1.- Verificare la formula di ricorrenza per n = 8 e k = 2.
Si ha:  

 

.