8. Coefficiente binomiale.

 

Il simbolo , come già detto, si chiama coefficiente binomiale e gode delle seguenti proprietà:

 

1.        ,   ,    

 

2.                        (proprietà dei tre fattoriali o di Stirling)

 

3.                         (proprietà dei termini complementari)

 

4.                (proprietà di Stiefel)

 

5.                 (proprietà di ricorrenza)

 

Vogliamo dimostrare le enunciate quattro proprietà: di Stirling, dei termini complementari, di Stiefel e di ricorrenza.

 

a)Proprietà dei tre fattoriali o di Stirling. Vogliamo dimostrare che .

Si ha:

 

 

Per k = n si ha:

Per k = 0 e nÎN  si ha:

 

b) Proprietà dei termini complementari. Vogliamo dimostrare che .

Dimostrazione

Si ha:

 

     ( per definizione di coefficiente binomiale)