Esempio 2.  I numeri: 

*)   ,  

**)   

 

sono positivi o negativi?

Per rispondere non bisogna far alcun conto, ma ricordare la proprietà (1), in virtù della quale si può affermare che i numeri sono entrambi positivi.

 

Esempio 3.  L’espressione:  *),   è positiva o negativa?

 

L’espressione ha significato matematico per 235x² – 8 diverso da zero. Sotto questa condizione l’espressione, in virtù della proprietà (1) è sempre positiva.

 

 

 

b) Definizione di logaritmo

Dato un numero reale positivo a ¹ 1 e un numero reale positivo x si dice logaritmo di base a del numero x  il numero reale y tale che:

 

1)         = x.

 

Per indicare che y è il logaritmo di x in base a si scrive:

 

2)          

L’espressione (2) si dice logaritmo di base a ed è definita nell’insieme D = ] 0,+¥ [

Se a = 10 il logaritmo si dice decimale, mentre se a = e = 2,7…. si dice neperiano o naturale.

 

Esempio 1. Si ha:

,         ,

 

,      .

 

Esempio 2. Stabilire l’insieme di definizione della seguente espressione

Bisogna imporre l’argomento x – 1 > 0. Pertanto risolta tale disequazione si vede che l’espressione è definita nell’insieme D = [1,+ ¥ [

 

 

Proprietà dei logaritmi.

 

3’)          

4’)         

5’)                            ,              

 

6’)              

 

7’)              

8’)               

 

9’)              .

 

Altre proprietà:

log_a a = 1,      log_a 1 = 0,   

log_a 1/a = -1,      log_1/a a = -1

 Se  a > 1    si ha:                b > c Þ   log_a b > log_a c

 Se  0 < a < 1    si ha:         b > c Þ    log_a b < log_a c      

semprechè i logaritimi abbiano senso.

Esempio 3. Scrivere il numero 2 come potenza di base a = 3.

Applicando la proprietà ( 8’) si ha: