Corso propedeutico di matematica  - Giulio D. Broccoli


5. Teorema e regola di Ruffini.

Teorema di Ruffini

Un polinomio P(x) è divisibile per un binomio del tipo x  - c se e solo se P(c) = 0

 

Esempio 1.- Verificare che il polinomio P(x) = x2 - 8x + 15 è divisibile per x - 3.

Dall’essere P(3) = (3)2 - 8(3) + 15 = 9 - 24 + 15 = 0, consegue che il polinomio P(x) è divisibile per il binomio  x - 3. Il numero 3 si dice allora uno zero del polinomio.

 

Esempio 2.- Verificare che il polinomio P(x) = x3 - 7x + 12 è divisibile per x + 1.

 

Dall’essere P(-1) = (-1)3 - 7(-1) + 12 =  -1 + 7 + 12  = 18 ¹ 0 consegue che il polinomio P(x)  non è divisibile  per x + 1.

 

Regola di Ruffini

La regola di Ruffini è una procedura che permette di dividere un polinomio P(x) per un binomio del tipo x - c.

 

Esempio 3.- Calcolare il quoziente e il resto della divisione (x3 - 7x + 12) : (x - 2).

 

Per eseguire la divisione disponiamo i coefficienti 1, 0, -7, +12 ( in grassetto) del polinomio dividendo nella prima riga e il termine noto - 2, cambiato di segno, del divisore nella prima colonna (fig. 1). I coefficienti del polinomio quoziente sono forniti dai numeri ( in corsivo ) situati al di sotto della linea orizzontale e all’interno delle linee verticali.

 

 

Ne consegue che il polinomio quoziente è  Q(x) = x2 + 2x  - 3, e il resto è R = 6.

 

Osservazione

Giova ricordare che se il P(c) = p ¹ 0 significa che il resto della divisione P(x) : x - c  è proprio il numero p.

Infatti sussiste la seguente:

Regola del resto

Il resto della divisione P(x) : x - c è il valore che assume il polinomio P(x) per x = c, ossia P(c) = R.

                  

 

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