5. Teorema e regola di Ruffini.
Teorema di Ruffini
Un
polinomio P(x) è divisibile per un binomio del
tipo x - c se e solo se P(c) = 0
Esempio 1.-
Verificare
che il polinomio P(x) = x2 -
8x + 15 è divisibile per x - 3.
Dall’essere P(3)
= (3)2 - 8(3) + 15 = 9 - 24 + 15 = 0,
consegue che il polinomio P(x) è divisibile per
il binomio x - 3.Il numero 3 si dice allora uno
zero del polinomio.
Esempio 2.-
Verificare che il polinomio P(x) = x3
- 7x + 12 è divisibile per x + 1.
Dall’essere P(-1)
= (-1)3 - 7(-1) + 12 = -1 + 7 + 12 = 18
¹
0 consegue che il polinomio P(x) non è
divisibile per x + 1.
Regola di Ruffini
La
regola di Ruffini è una procedura che permette di
dividere un polinomio P(x) per un binomio del
tipo x - c.
Esempio 3.-
Calcolare il
quoziente e il resto della divisione x3
- 7x + 12 : x - 2.
Per eseguire la
divisione disponiamo i coefficienti 1, 0, -7, +12
( in grassetto) del polinomio dividendo nella prima riga
e il termine noto - 2,
cambiato di segno, del divisore nella prima colonna
(fig. 1). I coefficienti del polinomio quoziente sono
forniti dai numeri ( in corsivo ) situati al di sotto
della linea orizzontale e all’interno delle linee
verticali.
Ne consegue che il
polinomio quoziente è Q(x) = x2
+ 2x - 3, e il resto è R = 6.
Osservazione
Giova ricordare che se
il P(c) = p
¹
0 significa che il resto della divisione P(x) : x - c
è proprio il numero p.
Infatti sussiste la
seguente:
Regola del resto
Il
resto della divisione P(x) : x - c è il valore
che assume il polinomio P(x) per x = c,
ossia P(c) = R.