12. Disequazioni trigonometriche di vario tipo.

Per risolvere una disequazione trigonometrica si ricorre alle nozioni generali sulle disequazioni e sulle equazioni nonché all applicazione delle formule di trigonometria, onde trasformare la disequazione data in un’altra più semplice.

Inoltre, si tenga presente che conviene sempre trasformare una disequazione trigonometrica contenente più funzioni trigonometriche in una disequazione avente una sola funzione trigonometrica. Per farlo si utilizzano le identità trigonometriche opportune.

Di seguito presentiamo alcuni casi  notevoli.

 

a) La disequazione:

 

1)        A× cos  x + B× sen  x  + C > 0          (disequazione lineare in seno e coseno)

 

si può risolvere mediante l’uso delle formule parametriche. Infatti, mediante le sostituzioni:

 

                  

 

 con t = tg (x/2)si ottiene la disequazione razionale:

 

          

 

Ebbene risolta quest’ultima disequazione si stabiliscono le soluzioni della (1) mediante l’equazione t = tg (x/2).

Osserviamo che quando C = A la disequazione diventa di 1° grado e allora……

Esempio 1.- Risolvere in [0, 2p] la disequazione: *)

Le soluzioni sono: p / 6 < x <  p / 2.

 

OSSERVAZIONE

Se nella (1) risulta C = 0 la disequazione si può riscrivere anche nel seguente modo:

 

       cos x ( B× tg x + A ) > 0

 

e risolvere analizzando il segno del 1° fattore cos x  e del 2° fattore B× tg x + A .

Giova  osservare che la (2) non fornisce le eventuali soluzioni che verificano l’equazione cos x = 0. Pertanto bisogna verificare se tali valori sono soluzioni della (1).

 

Esempio 2.- Risolvere in [0, 2p] la disequazione: *) cos x  - sen x > 0.

Mettendo in evidenza cos x  si ottiene:

 

**)         cos x ( tg  x  -  1 ) > 0.

 

Il 1° fattore cos x è positivo per 0 £ x < p /2, 3p / 2 < x £ 2p  ( il che si vede risolvendo la disequazione cos x > 0 ) e negativa altrimenti.