d)
Sia q
Î
R.
·
La
disequazione:
7)
cotg x
> q
ammette in [ 0 , 2p]
le seguenti soluzioni:
0 < x <
a
,
p
< x <
p
+
a
se q > 0;
0 <
x <
p
/ 2 +
a,
p
< x < 3p
/ 2 +
a
se q < 0;
ove in ogni caso
a è l’angolo
minimo tale che cotg
a
=
|
q
|.
Esempio 1.
Risolvere la disequazione: *) cotg x > -
.
Risolta l’equazione cotg
x = 
si
vede che l’angolo minimo richiesto è:
a
=
p
/ 3 .
Pertanto le soluzioni
della (*) sono: 0 < x < 5p
/ 6,
p
< x < 11p
/ 6.
·
La
disequazione:
8)
cotg x
< q
ammette in [ 0 , 2p]
le seguenti soluzioni:
a
< x <
p
,
p
+
a
< x < 2p
se q > 0;
p
/ 2 +
a
< x <
p
, 3p
/ 2 +
a
< x < 2p
se q < 0;
ove in ogni caso
a è l’angolo
minimo tale che cotg
a
=
|
q
|.
Esempio 1.
Risolvere la disequazione: *) cotg x <
Risolta l’equazione cotg
x = si
vede che l’angolo minimo richiesto è
a
=
p
/ 6 .
Pertanto le soluzioni
della (*) sono:
p
/ 6 < x <
p
, 7p
/ 6 < x < 2p
.
OSSERVAZIONE
Le disequazioni (1),…(8)
si possono risolvere anche in tutto l’insieme R
dei numeri reali.
In tal caso basterà
aggiungere alle soluzioni determinate nell’intervallo
[0,2p]
la rispettiva periodicità.
Esempio 1.-
Risolvere in R la disequazione: *) sen x
> 1/2.
Le soluzioni della (*)
in [0,2p]
sono:
p
/ 6 < x < 5p
/ 6.
Pertanto le soluzioni in
R sono:
p
/ 6 + 2k
p
< x < 5p
/ 6 + 2k
p,
kÎ
Z.
Esempio 2.-
Risolvere la disequazione: *) cotg x <
Le soluzioni della (*)
in [0,2p]
sono:
p
/ 6 < x <
p
, 7p
/ 6 < x < 2p
.
Pertanto le soluzioni in
R sono:
p
/ 6 + k
p
< x <
p
+ k
p
, 7p
/ 6 + 2k
p
< x < 2p
+ k
p
,
kÎ
Z.
Esercizi proposti.
Risolvere le seguenti
disequazioni elementari
a) sen x >
,
sen x > 0, sen x < 3, sen x > 1/4.
b) cos x
> -
,
cos x > -
,
cos x > - 4.
c)
tg x
³
-
,
tg x
³
0, tg x > 5.
d)
cotg x >
,
cotg x < 1/3, cotg x > 0.