6. Disequazioni con il valore assoluto.

 

 

a) La disequazione:

 

1)      

 

equivale all’unione delle seguenti due:

 

2)       P(x) > Q(x)       se  P(x)  ³  0,

 

3)       - P(x)  > Q(x)      se  P(x)  <  0.

 

 

Esempio 1. Risolvere la disequazione:  *)  | x - 3 | > x - 2.

La disequazione (*) equivale alle seguenti due:

 

  x - 3  >  x - 2        se x ³ 3

 

- x + 3 > x - 2         se x< 3

 

Risolte tali disequazioni si vede che la (*) ammette le seguenti soluzioni x < 5/2.

Osserviamo che la prima disequazione non ammette soluzioni.

N.B.1.- La disequazione (1) è anche equivalente ai seguenti due sistemi:

                           

e quindi l'insieme soluzione si può ottenere anche risolvendo questi sistemi.

 

b) La disequazione:

 

4)      

 

equivale all’unione delle seguenti due:

 

5)       P(x) < Q(x)         se  P(x)  ³  0,

 

6)        - P(x) < Q(x)      se  P(x)  <  0.

 

 

Esempio 2. Risolvere la disequazione:  *)  | x² - 3 | < 5x - 3.

La disequazione (*) è equivalente alle seguenti due

 

   x²  - 3 < 5x - 3          se

 

- x² + 3 < 5x - 3           se

 

Risolte tali disequazioni si vede che la (*) è verificata per .

Giova osservare che la prima disequazione non ammette soluzioni nell’intervallo considerato .