CAPITOLO TERZO

 

 Disequazioni e sistemi di disequazioni.

 

 

Osservazione

Se P(x) è un polinomio nella variabile x si dice disequazione razionale ogni scrittura del tipo:

                  P(x)>0     oppure       P(x) < 0.

 

Per la risoluzione di una disequazione P(x) > 0 (P(x) < 0) è fondamentale sapere risolvere l’equazione P(x) = 0, che si dice equazione associata alla disequazione.
Talvolta si richiede di risolvere la disequazione P(x) ³ 0, che equivale a risolvere contemporaneamente P(x) > 0 e P(x) = 0.
Se P(x) non è un polinomio la disequazione si dice irrazionale o trascendente a seconda che P(x) sia un’espressione irrazionale o trascendente.
Nel paragrafo 15 di questo capitolo sarà esposto un metodo generale di risoluzione di una disequazione basato sulla risoluzione della sua equazione associata.

 

1. Disequazioni di 1° grado.

 Le soluzioni della disequazione di 1° grado nell’incognita x:

 1)       Ax + B > 0

 sono:

 a)       x >  - B/A          se   A > 0,

 b)       x <  - B/A          se   A < 0.

 

Osservazione 1

La disequazione Ax + B < 0  si può ricondurre alla disequazione (1) moltiplicando 1° e 2° membro per  -1.

 

Esempio 1. Risolvere la disequazione:  *) 3x - 5 > 0.

Le soluzioni della (*)  ( vedi caso a) sono i numeri x > 5/3, ossia tutti i numeri reali maggiori di 5/3. La scrittura x > 5/3 si può sostituire con l’equivalente x Î ] 5/3,+ ¥ [.
Geometricamente possiamo rappresentare l’insieme soluzione della disequazione nel seguente modo, ove abbiamo indicato con i segni + l'insieme soluzione della disequazione: 

 

Osservazione 2
Giova osservare che dalla figura 1 si deduce anche che la disequazione 3x - 5 < 0 è verificata per x < 5/3 (vedi la parte indicata con i segni meno) e che l’equazione 3x -5 = 0 per x = 5/3 (vedi lo zero sotto il numero 5/3) .