Si noti che la definizione si riferisce a valori di x appartenenti all’intorno  escluso c perché non si vuole escludere che il valore f(c), assunto dalla f(x), per , possa essere diverso dal limite L.

Per verificare se un dato numero L è il limite di f(x) per  si deve risolvere la disequazione : se le soluzioni di questa costituiscono, qualunque sia ε >0, un intorno completo di c, escluso al più c, allora L è il limite di  f(x) per ; mentre se la disequazione non è verificata in un intorno di c, oppure non è mai verificata,  L non è limite di  f(x) per .

 

Esempio 1.- Verificare che .

Bisogna verificare che in un intorno di c = 6 la disequazione è soddisfatta per ogni scelta di . Si ha:

 

 

 

cioè

.

 

Essendo l’intervallo  un intorno di c = 6, con , segue che la disequazione  è verificata intorno a 6. Pertanto il limite proposto è vero.

 

Esempio 2.- Verificare che .

 

 

          (intorno di 2).

 

Pertanto  il limite è vero.

 

N.B: Nel 1° esempio esiste il limite della funzione e coincide con il valore della funzione in quel punto, cioè  e L = f(c).

Mentre nel 2° esempio, esiste il limite, ma non la funzione per x = 2, cioè esiste il , ma  f(c) non esiste.

Potrebbe anche capitare che esiste sia il  che il valore  f(c),  ma risulta  f(c) ≠ L.