Capitolo 3

Limiti di una funzione

 

1. Nozione di limite finito di una funzione in un punto.

Data una funzione reale y = f(x) definita in un insieme XÍR, detto c un punto d’accumulazione per X, appartenente o no a X, vogliamo studiare il comportamento della funzione in un intorno di c, cioè in prossimità di c.

Ci proponiamo, quindi, di esaminare l’insieme dei valori che assume la funzione f(x), quando la x si “avvicina indefinitamente” a c. Precisamente, se avviene che il corrispondente valore di f(x) si “avvicina indefinitamente” ad una costante L, all’avvicinarsi indefinitamente di x a c, si dice che L è il limite della funzione y = f(x), per x tendente a c nell’intorno di c, e si scrive .

La precedente definizione è “imprecisa” perché il verbo “avvicinarsi” non ha un esatto significato matematico, però dà una cognizione intuitiva del concetto di limite.

Volendo precisare tale concetto in modo rigoroso, dobbiamo valutare di quanto la x dovrà avvicinarci a c affinché il valore della funzione si avvicini a L di quel tanto stabilito.

 

 

 

 

 

 

 

 

Una definizione rigorosa del concetto di limite è la seguente.

Definizione

Sia y = f(x) una funzione definita in un insieme X e sia c un punto d’accumulazione per X. Si dice che la funzione f(x) tende a L (o ha per limite L ), per x che tende a c, se la f(x) assume valori che differiscono da L, in valore assoluto, per non più di ε, ossia:

 

  si ha

 

La disuguaglianza  è equivalente alla seguente .