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Esempio 1.-
 .
Osservato che il
grado del numeratore è maggiore del grado del
denominatore dividendo con la regola di Ruffini,
o con
l’ordinaria divisione dei polinomi, il
numeratore per il denominatore si ha:
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1 -3
0
4 4
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2
16 |
|
4
|
|
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1 1
4 |
18 |
ossia:
Pertanto risulta:
 .
Nel secondo caso
l’integrale (1) si risolve scomponendo la
funzione integranda nella somma di due o più
frazioni i cui integrali si possono calcolare
con i metodi già esposti.
Distinguiamo i
seguenti casi a seconda delle radici del
denominatore g(x).
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1° Caso -
Radici reali e distinte.
Consideriamo la
funzione razionale propria
e
supponiamo che l’equazione g(x) = 0
ammetta n radici, reali e distinte, cioè
sia:
g(x)
= (x - a) (x - b) ……… (x - p)
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Allora, sarà
possibile determinare n costanti reali
A, B,……, P, in modo che si abbia:
1)
 
e l’integrale
dato si trasforma nella somma d’integrali
semplici.
Esempio 2.-
Calcolare l’integrale
 .
Il
denominatore g(x) = x2 -
5x +6 = 0 ammette radici reali e distinte:
x2
- 5x +6=
0;
quindi x2
-5 x +6 = (x-2)(x-3). Pertanto,
è possibile determinare due costanti reali A
e B tali che:
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