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L’integrale
assegnato non è immediato. Assumendo f(x)
= x e
 si
ha:
2)
Si ha:
cioè si ha:
ossia, essendo
l’ultimo termine uguale al 1° membro:
Analogamente si
dimostra che
 .
N.B.
Il metodo
d’integrazione per parti è molto utile perché
dato l’integrale di una certa funzione y =
f(x), si può considerare la funzione come
y = f(x) × 1 e quindi considerare 1
come g’(x), cioè come fattore
differenziale.
5.- Metodo d’integrazione per sostituzione.
In alcuni casi il
calcolo dell’integrale indefinito di una
funzione f(x) si semplifica sostituendo
alla variabile d’integrazione x una nuova
variabile t legata alla precedente x
da un’opportuna relazione, x = g(t),
dove g(t) ha derivata continua e non
nulla.
Anche il
differenziale dx, si trasforma e diventa
dx = g’(t)dt. Eseguita questa duplice
sostituzione, si ottiene un nuovo integrale
nella variabile t, che si suppone si
sappia calcolare. Nel risultato ottenuto si
esegue il ritorno alla precedente variabile x
sostituendo al posto di
 la
sua espressione, ricavata dalla relazione x =
g(t).
Esempio 1.-
Calcolare l’integrale
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