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Arturo Donato Vallante
Giulio D. Broccoli
Capitolo 5
Integrali
1.- Funzione primitiva. Nozione di integrale
indefinito.
Una funzione
F(x), definita nell’intervallo (a, b),
si dice primitiva di una funzione continua
y = f(x)
se:
F’(x) =
f(x)
" xÎ
(a,
b).
Esempio 1.-
La funzione F(x) = x3 è la
primitiva di y = f(x) = 3 x2,
perché F’(x) = 3 x2 =
f(x).
Quindi la ricerca
della primitiva di una funzione è l’operazione
inversa della derivazione, anche se bisogna
tener presente, che data una funzione ne esiste
una sola derivata; mentre una funzione ammette
infinite primitive, infatti sussiste il seguente
teorema delle funzioni primitive:
Teorema.-
Se la funzione f(x) ammette una
primitiva, allora ne ammette infinite, che
differiscono fra loro per la costante
arbitraria.
Dimostrazione.- Sia F(x)
una primitiva di f(x). Allora detta c
una costante reale, anche la funzione F(x)+c
è primitiva di f(x). Infatti, si ha:
 .
La costante c
si chiama costante arbitraria additiva. La
primitiva di f(x) si indica con il
simbolo di integrale, cioè
dove f(x)
si chiama “funzione integranda”, dx è un
simbolo al quale si attribuisce il compito di
indicare che la variabile d’integrazione è x.
Definizione di
integrale indefinito.- Si chiama
integrale indefinito di una funzione
continua f(x) l’insieme delle sue
primitive, cioè
N. B.
1)
Si osservi che mentre non tutte le funzioni
continue sono derivabili, tutte le funzioni
continue sono invece integrabili.
2)
Mentre esistono procedimenti per derivare
qualunque tipo di funzione, non sempre è
possibile determinare la primitiva, ossia
integrare, una funzione con metodi a noi noti.
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