Arturo Donato Vallante - Giulio D. Broccoli

Capitolo 5
Integrali
 

1.- Funzione primitiva. Nozione di integrale indefinito.
Una funzione F(x), definita nell’intervallo (a, b), si dice primitiva di una funzione continua  y = f(x) se:   

F’(x) = f(x)    " xÎ (a, b).

Esempio 1.- La funzione F(x) = x³ è la primitiva di y = f(x) = 3 x²,  perché F’(x) = 3 x² = f(x).

Quindi la ricerca della primitiva di una funzione è l’operazione inversa della derivazione, anche se bisogna tener presente, che data una funzione ne esiste una sola derivata; mentre  una funzione ammette infinite primitive, infatti sussiste il seguente teorema delle funzioni primitive:

Teorema.- Se la funzione f(x) ammette una primitiva, allora ne ammette infinite, che differiscono fra loro per la costante arbitraria.

Dimostrazione.- Sia F(x) una primitiva di f(x). Allora detta c una costante reale, anche la funzione F(x)+c è primitiva di f(x). Infatti, si ha:

.

La costante c si chiama costante arbitraria additiva. La primitiva di f(x) si indica con il simbolo di integrale, cioè

dove f(x) si chiama “funzione integranda”, dx è un simbolo al quale si attribuisce il compito di indicare che la variabile d’integrazione è x.

Definizione di integrale indefinito.- Si chiama integrale indefinito di una funzione continua f(x) l’insieme delle sue primitive, cioè                                              

N. B.
1) Si osservi che mentre non tutte le funzioni continue sono derivabili, tutte le funzioni continue sono invece integrabili.

2) Mentre esistono procedimenti per derivare qualunque tipo di funzione, non sempre è possibile determinare la primitiva, ossia integrare, una funzione con metodi a noi noti.