Allora, tenendo conto della precedente disuguaglianza, viene spontaneo assumere questo limite come valore T dell’area del trapezoide, e porre:

T =

Quindi diciamo che l’area di un trapezoide è data dal limite comune a cui tendono le aree degli scaloidi inscritti e le aree degli scaloidi circoscritti al tendere a zero della massima ampiezza degli intervalli parziali in cui viene diviso l’intervallo [a, b].

Si osservi che se consideriamo un nuovo scaloide, in cui i singoli rettangoli hanno le stesse basi dei precedenti, ma come altezza il valore che la funzione assume in un punto qualunque dell’intervallino che fa da base, valore che per ciascun intervallo è sicuramente non minore del minimo e non maggiore del massimo ivi assunti dalla f(x), è chiaro che l’area di questo nuovo scaloide, espressa dalla somma  è compresa fra le aree dei precedenti scaloidi (quello inscritto e quello circoscritto), cioè si ha:

<  <

quindi passando al limite per , se T = , si avrà pure che

T =

9. Concetto di integrale definito.

Abbiamo visto che il problema dell’area del trapezoide conduce alla determinazione del limite:

Pertanto, s’intuisce che è importante, analogamente a quanto si è fatto per la derivata, risolvere il problema della determinazione di questo limite.

Data quindi una funzione y = f(x) continua in un intervallo [a, b] dividiamo tale intervallo in un numero n di parti e, indicato con x_i un punto qualunque dell’intervallino  consideriamo prima il prodotto f(x_i)  e quindi la somma: .

Il limite finito al quale tende questa somma, al tendere comunque a zero dell’ampiezza massima  di tutti gli intervallini in cui si è diviso l’intervallo [a, b],  si indica con il simbolo  e si legge integrale definito da a a b di f(x) in dx. Quindi, per definizione si pone:

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