8. L’integrale definito. Area del trapezoide.       

Sia y = f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso [a, b], ed ivi positiva. Consideriamo la figura piana limitata dal diagramma della funzione, dall’asse delle ascisse e dalle parallele all’asse y condotte dai punti A ed B del diagramma d’ascisse a e b.

Vogliamo calcolare l’area di questa figura che si chiama trapezoide. Dividiamo allora l’intervallo [a, b] in un numero n di parti e indichiamo con [1] le ampiezze di ciascuno di questi intervalli e con m₁, m₂, …, m_n e M₁, M₂, …, M_n rispettivamente i minimi e i massimi che la funzione f(x) assume in ciascuno di essi (fig. 1).

Ad esempio, l’intervallino [a, x₁] ha ampiezza e la funzione f(x) assume in esso minimo m₁ e massimo M₁.

Tutti i successivi rettangoli aventi come basi questi intervalli e come altezze m₁, m₂, …, m_n formano una figura che si chiama scaloide (tutti i rettangoli in grigio) inscritto nel trapezoide, la cui area, minore di quella del trapezoide, è data dalla somma delle aree dei singoli rettangoli cioè:

Questa somma si può indicarla col simbolo  (e si legge sommatoria per i che va da 1 a n di ).

I successivi rettangoli, aventi come basi le stesse basi dei precedenti e come altezze i massimi M₁, M₂, …, M_n, formano lo scaloide circoscritto al trapezoide, la cui area maggiore di quella del trapezoide sarà: 

che può scriversi come: .

Allora se T è l’area del trapezoide, chiaramente dovrà aversi:

 < T < .

Se ora facciamo variare la suddivisione dell’intervallo [a, b] in modo che diminuisca sempre più la massima ampiezza, che indichiamo con , degli intervallini in cui è suddiviso [a, b], si avrà che l’area dello scaloide inscritto aumenta e quella dello scaloide circoscritto diminuisce, avvicinandosi entrambe sempre più all’area del trapezoide con la quale tendono a coincidere al tendere a zero di, cioè si ha:

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