7.- Massimi e minimi relativi.

Sia  una funzione definita nell’intervallo chiuso[a,b]. Si dice che f(x) presenta un punto di massimo relativo (fig. 1) in x = c, interno ad [a,b], se esiste un intorno H = ]c - d , c + d [ di c tale che:

              

f(x) £  f(c) ,      "xÎH

 

Il valore f(c) è il massimo relativo della funzione f(x)  ed il punto  rappresenta il massimo relativo della curva grafico, d’equazione y = f(x), nel piano cartesiano Oxy.[1]

Mentre si dice che la funzione f(x) presenta un punto di minimo relativo (fig. 2) relativo in

x = c, se esiste un intorno H = ]c - d , c + d [ di c tale che:

 

f(x)  ³  f(c) ,     "xÎH.

 

Il valore f(c)  è il minimo della funzione f(x)  ed il punto  rappresenta il minimo relativo della curva grafico, d’equazione y = f(x), nel piano cartesiano Oxy.         

                     

Osservazione 1

Se x = c è un punto di massimo relativo per la funzione f(x) allora esiste un intorno H di c in cui la funzione è crescente a sinistra di c e decrescente a destra; mentre se x = c è un punto di minimo relativo allora esiste un intorno H di c in cui la funzione f(x) è decrescente a sinistra di c e crescente a destra.

Viceversa, se una funzione f(x) è crescente a sinistra di un punto x = c, del dominio della funzione, e decrescente a destra allora x = c è un punto di massimo relativo; mentre se f(x) è decrescente a sinistra e crescente a destra di c, c è un punto di minimo relativo (fig. 3, N. 6.)

 

Osservazione 2

Se una funzione ha per codominio l’intervallo [m, M] allora m è il minimo assoluto della funzione e M il massimo assoluto; non è escluso che la funzione abbia altri massimi e minimi relativi[2]. Se la funzione ha per condominio l’insieme R = ]- ∞ , + ∞[  allora non ammette massimo e minimo assoluti, ma può ammettere massimi e minimi relativi. Inoltre, si ha che l’estremo superiore della funzione è + ∞ e l’estremo inferiore  - ∞.