Esempio 3.- La funzione  = sen x  + cos x  è periodica di periodo w = 2p. Infatti, "x ÎR si ha:

                     = sen (x + 2p) + cos (x + 2p) = sen x + cos x =     4

 

Esempio 4.- La funzione  =  tg x - cotg x   è periodica di periodo 5   w = p.

 

b) Sia un punto del piano Oxy. Il simmetrico del punto P rispetto all’asse x, all’asse y, all’origine O del riferimento è rispettivamente il punto di coordinate:

 

                  ,         ,            .

 

Il simmetrico di  rispetto alla bisettrice ,  è il punto di coordinate:

 

                   ,                               ;

 

invece il simmetrico di  rispetto alla retta   è il punto di coordinate:

 

                    ,                        .

 

Il simmetrico di  rispetto ad un punto generico C(a, b) è il punto di coordinate

 

;

 

invece il simmetrico di  rispetto alla generica retta  y = mx + q è il punto di coordinate

 

.

 

Esempio 1.- Determinare il simmetrico del punto P(-2, 3) rispetto all’origine O, alla bisettrice  e rispetto alla retta x = - 4

Si ha rispettivamente: ( 2, -3 ), ( 3, -2 ),  (- 8 + 2 , 3 )  =  ( -6, 3 ).         

  

Esempio 2.- Determinare il simmetrico del punto P(4,-5) rispetto all’asse x, all’asse y, alla bisettrice  y = - x e rispetto alla retta y = 3.

Si ha rispettivamente: (4 , 5 ), (- 4, - 5 ), ( 5, -4 ), ( 4, 11 ).

 

Esempio 3.- Determinare il simmetrico P’ del punto P(2, -3) rispetto al punto C(4, 1) e il simmetrico P’’  di P rispetto alla retta  y = 2x +3.

 

Si ha P’(6, 5),  P’’(-6, 1).