5. Simmetrie e
periodicità di una funzione.
a)Una
funzione reale di variabile reale
,
definita nell’insieme D
Í
R, si dice:
1)
funzione pari se:
"
x, - x
Î
D
2)
funzione dispari se:
"
x, - x
Î
D
3)
periodica di periodo
w
Î
R se:
"
x
Î
D
Chiaramente risulta anche
Osservazione
·
Ricordiamo che se una funzione è pari
il suo grafico è simmetrico rispetto
all’asse y, mentre se è dispari è
simmetrico rispetto all’origine O
del riferimento Oxy. Pertanto una
funzione pari o dispari, definita in
D
Í
R, si può studiare nell’insieme
[0, +
¥
[
Ç
D.
·
Una funzione periodica di periodo
w
si può studiare in qualsiasi intervallo
di ampiezza
w.
Inoltre, se
e
sono
funzioni trigonometriche elementari di
periodo
w
allora anche la funzione
±
ha
periodo
w,
mentre la funzione
ha
periodo
w/2.
Se invece i periodi di
e
sono
distinti, il periodo delle funzioni
±
,
e
è
il minimo comune multiplo dei singoli
periodi.
Esempio 1.-
La funzione
=
- x4 + x2
definita in R è pari.
Infatti, si ha:
=
- ( - x )4 + (- x )2
= - x4 + x2
=
Pertanto
la funzione si può studiare
nell’intervallo D = [ 0, +
¥
[.
Notiamo anche che una funzione algebrica
è pari se e solo se, nella sua
equazione, la variabile x figura
solo con esponenti pari.
Esempio 2.-
La funzione
=
4x3 + 5x + 7x5
è dispari. Infatti, si ha:
=
4( - x )3 + 5( - x ) +
7( - x ) 5
= - 4x3 - 5x - 7x5
= - .
Pertanto
la funzione
si
può studiare nell’intervallo D =
[ 0, +
¥
[.