3. Funzioni iniettive, suriettive e biettive.

Una funzione reale y = f(x), definita in AÍ R, si dice iniettiva se:

 

                  

 

mentre si dice suriettiva se: .

Una funzione y = f(x), che sia iniettiva e suriettiva si dice biettiva o invertibile; in tal caso ha senso considerare la funzione  , inversa di f, definita in f(A) e a valori in  A. Quindi si scrive:

 

y = f(x),                          f ^{- 1}   (y) = x

 

oppure:

f  : xÎA→ f(x) = y Î f(A)             f  ^-1  :  y Î f(A) → f  ^-1  (y) = xÎA

 

Un’applicazione biettiva di A in B si dice anche corrispondenza biunivoca.

Esempio 1.-  La funzione  è biettiva in tutto l’insieme di definizione R;

Esempio 2.- La funzione y = sen x non è biettiva né in tutto R, né in [0, 2π] perché

,        ma    ,

cioè non è verificato che x₁  ≠ x_{2    Þ}    f(x₁) ≠ f(x₂) .
La funzione y = sen x risulta biettiva, cioè invertibile, nell’intervallo  [–π/2; π/2].

Esempio 3.- La funzione y = cos x non è biettiva in [0, 2π], ma lo è in [0; π];

Esempio 4.- La funzione y = tg x è biettiva solo nell’intervallo ]-π/2;π/2[ e non in [0;2π], mentre la funzione y = cotg x è biettiva solo nell’intervallo [0,π],  e non in [0,2π].

Esempio 5.- Consideriamo le funzioni circolari e le relative funzioni inverse.
La funzione seno è invertibile solo in [–π/2; π/2];  quindi se  f  è la funzione:

 

f :  x Î [–π/2; π/2]  →  [-1; 1]