5.
Significato geometrico della derivata.
I problemi che diedero
origine al concetto di derivata furono quelli delle
tangenti ad una curva e della velocità.
a) Problema delle tangenti.-
Se si vuol definire la retta tangente ad una
circonferenza, diciamo che è la retta che la tocca in un
sol punto; ma tale definizione non si può estendere ad
una curva qualsiasi, perchè possono presentarsi anche
casi di questo tipo:
Quindi
per definire, in una maniera rigorosa la tangente ad una
curva in un punto, consideriamo una curva d’equazione
y = f(x) definita in un intervallo (a, b) e
un punto x di tale intervallo. Possiamo definire
la tangente alla curva nel punto x, la posizione
limita se esiste, a cui tende la secante passante per P
e per Q, quando il punto Q tende a P (fig. 3).
Analizziamo ora la relazione che intercorre tra il
concetto di derivata di una funzione in un punto e la
tangente alla curva in quel punto. Consideriamo quindi
il triangolo APQ e per il secondo teorema sui triangoli
rettangoli della trigonometria si ha che
cioè
,
quindi la tangente trigonometrica dell’angolo
individuato
dall’asse x e dalla secante s, coincide
col rapporto incrementale della funzione, e rappresenta
anche il coefficiente angolare della retta secante.
Passando al limite del rapporto incrementale per h
che tende a 0, geometricamente si può notare che il
punto Q si avvicina al punto P, perciò la retta secante
s, tenderà a diventare tangente t alla
curva, l’angolo
tenderà
ad assumere il valore
e
il coefficiente angolare tenderà al coefficiente
angolare della tangente, cioè si ha:
.
Diciamo, quindi che la
derivata
è il coefficiente
angolare della retta tangente alla curva y = f(x)
nel suo punto d’ascissa
.
Di conseguenza la retta
t tangente alla curva d’equazione y = f(x)
nel punto suo punto P d’ascissa c ha equazione:
6)
con
.
Esempio 1.-
Data la parabola y = x2-
4x+3 calcolare l’equazione della retta tangente
(fig. 4) alla curva nel punto P d’ascissa c =
3.
Essendo P(3, 0), y’ =
2x - 4 e y’(3) = 2, applicando la (6) si
ha:
